UFSCAR, Sem Campus, Séries e Equações Diferenciais, Listas da Prof. Thaís Dalbelo - Lista 1, Questão 9
Encontre o valor de para o qual a solução do problema de valor inicial:
permanece finita quando
Passo 1
Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão. Nosso objetivo é descobrir de forma que a solução do problema de valor inicial
Seja finita quando
Como podemos começar a resolver essa questão?
Primeiro, precisamos obter a solução geral da equação diferencial. Para obtermos a solução geral, usamos o método do fator integrante. Que consiste em multiplicar a nossa equação por outra função para podermos simplificar a equação diferencial. Lembrando que
Vamos obter a solução geral da equação diferencial. A equação é:
Logo, temos que
Agora, precisamos substituir na equação
temos:
Agora, integramos dos dois lados da equação
Ou seja, a solução geral da nossa equação é:
Passo 2
Como vimos no passo anterior, a solução geral da equação diferencial
é:
Agora, precisamos levar em consideração o problema de valor inicial, isto é precisamos descobrir quem é para que a função seja finita quando . lembrando que . Como podemos abordar esse problema?
Vamos descobrir qual deve ser o valor de para verificar se a função é finita quando
Vamos analisar os termos que dependem de . Os senos e cossenos são funções limitadas, logo quando esse termo ainda será finito. Então, só sobra o termo que cresce ilimitadamente quando . Logo precisamos fazer com que esse termo fique finito, como fazemos isso? Fazemos . Simples, né? Então a solução geral fica
E com isso
Com isso, chegamos a conclusão que
Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊