UFSCAR, Sem Campus, Séries e Equações Diferenciais, Listas da Prof. Thaís Dalbelo - Lista 1, Questão 6e
A solução geral da equação diferencial abaixo é:
Passo 1
Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão. Nosso objetivo é obter a solução geral da equação diferencial
Lembram como fazemos isso?
Para obtermos a solução geral, usamos o método do fator integrante. Que consiste em multiplicar a nossa equação por outra função para podermos simplificar a equação diferencial. O método funciona da seguinte forma:
Pegamos o lado esquerdo da equação diferencial e multiplicamos por uma função . Então temos:
Agora vem a parte legal, nós supomos que a função é tal que:
Ou seja, queremos que a derivada de seja igual a parte esquerda da nossa equação diferencial após multiplicarmos por . Isto é igual a . Dessa forma, podemos fazer o seguinte desenvolvimento.
Que uma equação diferencial clássica. Temos que
Essa é chamada de fator integrante. Depois que descobrimos quem é essa mu, basta substituir em e descobrimos quem é . Vamos a luta!!!
Bacana, né? Vamos resolver a questão!!!
Passo 2
Como vimos no passo anterior, precisamos calcular o fator integrante que descobrimos que é:
Como a equação que queremos resolver é
Então temos que comparar com , e assim vemos que:
Então
Substituindo na equação
integrando dos dois lados temos:
E dessa forma mostramos que a solução geral da equação diferencial é:
Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊