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Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

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Enunciado

EDO linear de 1ª Ordem

Resolva o problema de valor inicial abaixo, isto é, encontre a função ou as funções y x que satisfaz(em) a equação diferencial e as condições iniciais dadas.

y ' + y = sen ⁡ x

y 0 = 1

Passo 1

Podemos perceber que essa é uma equação linear de 1 ª ordem. Então vamos ao passo a passo dela para resolver

Colocar a equação na forma y ' x + A x ⋅ y x = B ( x ) :

Ela já está desta forma

y ' + y = sen ⁡ x

Passo 2

Encontrar A ( x ) e B ( x ) :

Pela equação vemos que

y ' x + A x ⋅ y x = B ( x ) y ' + y = sen ⁡ x

⇒ A x = 1 B x = sen ⁡ x

Passo 3

Calcular a integral ∫ A x d x sem adicionar a constante:

∫ A x d x = ∫ 1   d x = x

⇒ ∫ A x d x = x

Passo 4

Calcular fator integrante:

I x = e ∫ A x d x = e x

Vamos ter

I x = e x

Passo 5

Calcular a integral ∫ I x . B x d x sem adicionar a constante:

∫ e x sen ⁡ x d x

Para resolver essa integral devemos usar a integração por partes, vamos fazer

e x = u

d v = sen ⁡ x d x

Achando d u e v

d u = e x d x

v = - cos ⁡ x

A integração por partes é

∫ u d v = u v - ∫ v d u

Substituindo

∫ e x sen ⁡ x d x = - e x cos ⁡ x - ∫ - cos ⁡ x e x d x

∫ e x sen ⁡ x d x = - e x cos ⁡ x + ∫ e x cos ⁡ x d x

Passo 6

Vamos agora fazer a integral que temos ali

∫ e x cos ⁡ x d x

Para resolver essa integral devemos usar a integração por partes, vamos fazer

e x = u

d v = cos ⁡ x d x

Achando d u e v

d u = e x d x

v = sen ⁡ x

A integração por partes é

∫ e x cos ⁡ x d x = e x sen ⁡ x - ∫ e x sen ⁡ x d x

Encontramos a parada lá do início da integral, aqui vamos usar aquele truque de jogar essa integral para o outro lado, vamos ver como fica no próximo passo

Passo 7

Lembrando a integral que tínhamos

∫ e x sen ⁡ x d x = - e x cos ⁡ x + ∫ e x cos ⁡ x d x

Substituindo o valor que achamos no passo 6

∫ e x sen ⁡ x d x = - e x cos ⁡ x + e x sen ⁡ x - ∫ e x sen ⁡ x d x

Agora jogamos aquela integral para o lado esquerdo

2 ∫ e x sen ⁡ x d x = - e x cos ⁡ x + e x sen ⁡ x

∫ e x sen ⁡ x d x = - e x cos ⁡ x + e x sen ⁡ x 2

⇒ ∫ I x ⋅ B x d x = - e x cos ⁡ x + e x sen ⁡ x 2

Passo 8

Encontrar a solução:

y x = 1 I x ∫ I x . B x d x + c

⇒ y x = 1 e x - e x cos ⁡ x + e x sen ⁡ x 2 + c

⇒ y x = - cos ⁡ x + sen ⁡ x 2 + c e - x

Logo:

y x = - cos ⁡ x + sen ⁡ x 2 + c e - x

Passo 9

Vamos agora para o valor inicial,

y 0 = 1

y 0 = - cos ⁡ 0 + sen ⁡ 0 2 + c e - 0

1 = - 1 2 + c

c = 1 + 1 2

c = 3 2

A equação vai ficar

y x = - cos ⁡ x + sen ⁡ x 2 + 3 2 e - x

Resposta

y x = - cos ⁡ x + sen ⁡ x 2 + 3 2 e - x

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