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Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

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Enunciado

UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, Listas de EDA - Profª Alejandra Russi - Lista 2 - Equações lineares, Bernoulli e separáveis, Questão 3.2

Resolva os problemas de valor inicial abaixo, indique o intervalo de validade da solução encontrada e esboce seu gráfico:

y y ' + y 3 = 1

y ( 0 ) = 1

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de EDO. Nosso objetivo é Resolver o problema de valor inicial

y y ' + y 3 = 1

y ( 0 ) = 1

Indicando o intervalo de validade da solução encontrada e esboçar seu gráfico.

Passo 2

Vamos resolver

y y ' + y 3 = 1

y ( 0 ) = 1

Escrevendo y ' = d y d t

y y ' + y 3 = 1

⇒ y d y d t + y 3 = 1

isolando o d t

⇒ y 1 - y 3 d y = d t

Integrando, temos:

∫ y 1 - y 3 d y = t + c

fazendo

y 3 / 2 = u

⇒ 3 2 y 1 / 2 d t = d u

Então, a integral fica

2 3 ∫ d u 1 - u = t + c

⇒ - 2 3 l o g ( 1 - u ) = t + c

Logo

- l o g ( 1 - y 3 / 2 ) = 3 2 ( t + c )

⇒ y = ( - e - 2 3 ( t + c ) + 1 ) 2 / 3

Encontramos a solução para nossa EDO

Passo 3

Vamos resolver o problema de valor inicial:

Temos que

y ( 0 ) = 1

Logo, como

y ( t ) = ( - e - 2 3 ( t + c ) + 1 ) 2 / 3

⇒ 1 = ( - e - 2 3 ( c ) + 1 ) 2 / 3

⇒ c = - 3 2 l n ( 2 )

Essa solução é válida para todo R

E temos o esboço da nossa solução:

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

Desenvolvimento acima

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