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Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

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Enunciado

Questão 1: Resolva as seguintes equações diferenciais e problemas de valor inicial, conforme seja o caso:

a )   y ' + y + x + x 2 + x 3 = 0

Passo 1

Então, essa EDO não está com uma cara de EDO de primeira ordem? Esse tipo de EDO tem um formato bem definido assim na teoria, veja:

y ' + A x y = B x

No nosso caso...

  y ' + y + x + x 2 + x 3 = 0             →

  y ' + y = - x + x 2 + x 3

Onde

A x = 1

B x = - x + x 2 + x 3

Passo 2

Podemos resolver esse tipo de EDO utilizando o Método do fator Integrante, onde a fórmula geral é:

y = 1 I x ∫ I x B x d x + C

E o fator integrante no caso é:

I x = e ∫ A x d x

Então vamos primeiro encontrar esse fator integrante!

Passo 3

Para isso, devemos calcular essa integral de A x , mas sem colocar a constante de integração!

∫ A x d x = ∫ 1 d x =

x

Então:

I x = e ∫ A x d x = e x

Passo 4

Com isso, podemos agora calcular essa integral aqui:

∫ I x B x d x =

- ∫ e x x + x 2 + x 3 d x =

- ∫ e x x d x + ∫ e x x 2 d x + ∫ e x x 3 d x

Calculando essa primeira integral por integração por partes, onde o u é sempre o cara fácil de derivar e o d v de integrar:

u = x             e             d v = e x d x     →

d u = d x             e             v = e x

Então:

∫ e x x d x = x e x - ∫ e x d x =

x e x - e x =

e x x - 1

Calculando agora a segunda integral:

∫ e x x 2 d x

Também por partes, onde de forma semelhante:

u = x 2           e               d v = e x d x       →

d u = 2 x d x           e               v = e x

Então:

∫ e x x 2 d x = x 2 e x - 2 ∫ e x x d x =

Pelo resultado de cima...

x 2 e x - 2 x e x - e x =

x 2 e x - 2 x e x + 2 e x =

e x x 2 - 2 x + 2

Por último, vamos calcular a terceira e última integral de forma análoga as anteriores:

∫ e x x 3 d x

u = x 3                       e                       d v = e x d x         →

d u = 3 x 2 d x                           e                       v = e x

Então:

∫ e x x 3 d x = x 3 e x - 3 ∫ e x x 2 d x =

x 3 e x - 3 x 2 e x - 2 x e x + 2 e x =

x 3 e x - 3 x 2 e x + 6 x e x - 6 e x =

e x x 3 - 3 x 2 + 6 x - 6

Concluímos então que:

∫ I x B x d x = - e x x - 1 + e x x 2 - 2 x + 2 + e x x 3 - 3 x 2 + 6 x - 6 =

- e x x - 1 + x 2 - 2 x + 2 + x 3 - 3 x 2 + 6 x - 6 =

- e x x 3 - 2 x 2 + 5 x - 5

Passo 5

Logo, o resultado da nossa EDO é:

y = 1 I x ∫ I x B x d x + C

y = 1 e x - e x x 3 - 2 x 2 + 5 x - 5 + C

y = - x 3 + 2 x 2 - 5 x + 5 + C e - x

Resposta

y = - x 3 + 2 x 2 - 5 x + 5 + C e - x

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