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Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

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Enunciado

Encontre a solução geral para a equação diferencial dada. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida.

1 - cos ⁡ x d y + ( 2 y s e n x - tan ⁡ x ) d x = 0

Passo 1

Então galerinha, para encontrar essa solução geral, nós vamos utilizar a seguinte fórmula:

y x = 1 I x ∫ I x B x d x + C

Deste modo, primeiro vamos reescrever essa equação para deixar mais claro o que vamos integrar depois!

Escrevendo no formato manjado de EDO de 1ª ordem,   y ' x + A x ⋅ y x = B ( x ) :

1 - cos ⁡ x d y + ( 2 y s e n x - tan ⁡ x ) d x = 0

1 - cos ⁡ x d y = - ( 2 y s e n x - tan ⁡ x ) d x

d y d x = - ( 2 y s e n x - tan ⁡ x ) 1 - cos ⁡ x

d y d x = - 2 s e n x 1 - cos ⁡ x y + tan ⁡ x 1 - cos ⁡ x  

d y d x + 2 s e n x 1 - cos ⁡ x y = tan ⁡ x 1 - cos ⁡ x  

A x = 2 s e n x 1 - cos ⁡ x

B x = tan ⁡ x 1 - cos ⁡ x  

Para isso já podemos perceber que cos ⁡ x ≠ 1 , pois o denominador não pode zerar, logo x ≠ 2 k π ,   k ∈ Z .

Passo 2

Vamos calcular o nosso fator integrante   I x . Para isso devemos fazer,

I x = e ∫ A x d x

Calculando a integral ∫ A x d x

∫ A x d x =   2 ∫ s e n x 1 - cos ⁡ x d x

Chamando ( 1 - cos ⁡ x ) = u , temos.

s e n x d x = d u

∫ A x d x = 2 ∫ 1 u d u = 2 ln ⁡ ( 1 - cos ⁡ x )

Lembrando que pra nossa receita de bolo dar certo nós não devemos adicionar a constante de integração nesse passo. Sendo assim:

I x = e ∫ A x d x = 1 - cos ⁡ x 2

Passo 3

Agora que obtivemos o nosso fator integrante, vamos resolver a nossa integral!

O cálculo da integral:

∫ I x . B x d x

∫ I x B x d x = ∫ 1 - cos ⁡ x 2 tan ⁡ x 1 - cos ⁡ x   d x = ∫ tan ⁡ x ( 1 - cos ⁡ x ) d x

∫ I x B x d x = ∫ tan ⁡ x d x - ∫ s e n x d x

∫ I x B x d x = - ln ⁡ cos ⁡ x + cos ⁡ x

Ainda não vamos colocar a constante de integração aqui. Ajeitando um pouco o resultado, veja que:

- ln ⁡ cos ⁡ x = ln ⁡ cos ⁡ x - 1 = ln ⁡   s e c x

Passo 4

Agora vamos jogar tudo na formula,

y x = 1 I x ∫ I x B x d x + C

y x = 1 1 - cos ⁡ x 2 - ln ⁡ cos ⁡ x + cos ⁡ x + C

Onde C é uma constante.

Como não temos informações para achar a constante C   a nossa resposta é essa acima. Vamos lembrar que:

cos ⁡ x ≠ 1             cos ⁡ x ≠ 0

x ≠ 0 + 2 k π ,     k ∈ Z

x ≠ π 2 + k π ,     k ∈ Z

Como o problema pede pra determinarmos um intervalo onde y ( x ) está bem definida podemos escolher 0 < x < π 2 .

Resposta

y x = 1 1 - cos ⁡ x 2 - ln ⁡ cos ⁡ x + cos ⁡ x + C ,                     0 < x < π 2

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