Nos problemas de (a) até (c), resolva o problema de valor inicial. Dê o maior intervalo I sobre o qual cada solução está definida

b ) L d i d t + R i = E ,   i 0 = i 0

L ,   R ,   i 0   e   E   s ã o   c o n s t a n t e s

Passo 1

Oi galera do meu coração, tudo bem por aí? Seguinte: precisamos resolver essa equação diferencial aqui

L d i d t + R i = E

Nosso instinto é tentar separar tudo que tem x para um lado, tudo que tem y para o outro e integrar, não é verdade?

Mas nesse caso não dá!

Então como resolver? Aí você precisa lembrar do segundo método de resoluções que você aprendeu: resolução por fator integrante

Precisamos verificar se nossa equação diferencial pode ser escrita da seguinte forma

y ' + P x y = Q ( x )

Fazendo isso vamos proceder em duas etapas:

1º) determinar o fator integrante: μ = e ∫ P x d x

2º) depois de achar μ , a solução dessa equação é

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

E aí é só resolver essa integral no lado direito e tá pronta nossa solução!

Calma! No nosso caso temos que

y → i

x → t

Aí temos uma equação nesse formato do método!

Será que acabou?

Não! Ainda não! Precisamos ainda determinar a solução particular! Temos uma condição particular para nossa solução, nesse caso

i 0 = i 0

Então depois de encontrar a solução, precisamos achar a constante que satisfaz essa condição e ainda por fim determinar o maior intervalo onde a solução é válida!

E é “só” isso!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Já descobrimos qual o método que vamos usar, agora é #partiusolução

No método de fator integrante, nós vamos chamar esse fator de μ e considerando que nossa edo está escrita assim

i ' + P t i = Q ( t )

Nosso fator integrante é

μ = e ∫ P ( t ) d t

Beleza? Essa é nossa primeira missão! Achar o fator integrante! No passo seguinte te mostro qual é a solução! Mas como ela envolve esse μ , vamos fazer um passo de cada vez!

Nossa edo é

L d i d t + R i = E

Vamos começar dividindo tudo por L e lembrando que R ,   L e E são constantes

i ' + R L i = E L

Pronto! Nossa edo já está no formato que queremos! Temos que

P t = R L ; Q t = E L

E o nosso fator integrante fica assim

μ = e ∫ R L d t = e R t L

Tudo bem até aqui?

Assim nosso fator integrante é

μ = e R t L

Passo 3

Agora que calculamos nosso fator integrante, vamos para a solução! Sendo a equação diferencial assim

i ' + P t i = Q ( t )

i ( t ) via fator integrante é essa aqui

i . μ = ∫ μ Q ( t ) d t

Por isso que precisávamos encontrar antes o fator integrante! Vamos recapitular! Nossa edo

i ' + R L i = E L

Aí temos

P x = R L ; Q x = E L

E o fator integrante μ

μ = e R t L

Agora é substituir na solução i ( t ) !

i . μ = ∫ μ Q ( t ) d t

i .   e R t L = ∫ e R t L . E L d x

Agora basta resolver!

i .   e R t L = E L ∫ e R t L d t = E L . L R e R t L + c

Aí nossa solução fica assim

i t . e R t L = E R e R t L + c

Tudo tranquilo até aqui? Agora precisamos descobrir o valor dessa constante!

Passo 4

Nossa solução é a seguinte:

i t . e R t L = E R e R t L + c

E sabemos que i 0 = i 0 , assim

i 0 . e 0 = E R e 0 + c → c = i 0 - E R

Está aí!

E a solução particular para a equação diferencial dada é

i t . e R t L = E R e R t L + c

i t = E R + i 0 - E R e - R t L

Belezinha?

E o intervalo de validade? Como não tivemos nenhuma restrição ao longo do caminho, nossa solução é válida em todos os reais!

Ufa! Acabamos! Espero ter te ajudado!

Resposta

i t = E R + i 0 - E R e - R t L

I = ( - ∞ , + ∞ )

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação diferencial.y^' = (e^y)/(x y)
Resolva a equação diferencial:y^' = x e^(x - y) c o s s e c y
Resolva o problema de valor inicial.t (d u)/(d t) = t^2 + 3 u , t0 , u (2) = 4
Determine se a equação diferencial é linear.x y + sqrt(x) = e^x y '
Determine se a equação diferencial é linear.x y^' + ln x - x^2 y = 0