UTFPR– Equações Diferenciais – AVA1 – Lista 4 – Questão 2b
Nos problemas de (a) até (c), resolva o problema de valor inicial. Dê o maior intervalo sobre o qual cada solução está definida
Passo 1
Oi galera do meu coração, tudo bem por aí? Seguinte: precisamos resolver essa equação diferencial aqui
Nosso instinto é tentar separar tudo que tem para um lado, tudo que tem para o outro e integrar, não é verdade?
Mas nesse caso não dá!
Então como resolver? Aí você precisa lembrar do segundo método de resoluções que você aprendeu: resolução por fator integrante
Precisamos verificar se nossa equação diferencial pode ser escrita da seguinte forma
Fazendo isso vamos proceder em duas etapas:
1º) determinar o fator integrante:
2º) depois de achar , a solução dessa equação é
E aí é só resolver essa integral no lado direito e tá pronta nossa solução!
Calma! No nosso caso temos que
Aí temos uma equação nesse formato do método!
Será que acabou?
Não! Ainda não! Precisamos ainda determinar a solução particular! Temos uma condição particular para nossa solução, nesse caso
Então depois de encontrar a solução, precisamos achar a constante que satisfaz essa condição e ainda por fim determinar o maior intervalo onde a solução é válida!
E é “só” isso!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Já descobrimos qual o método que vamos usar, agora é #partiusolução
No método de fator integrante, nós vamos chamar esse fator de e considerando que nossa edo está escrita assim
Nosso fator integrante é
Beleza? Essa é nossa primeira missão! Achar o fator integrante! No passo seguinte te mostro qual é a solução! Mas como ela envolve esse , vamos fazer um passo de cada vez!
Nossa edo é
Vamos começar dividindo tudo por e lembrando que e são constantes
Pronto! Nossa edo já está no formato que queremos! Temos que
E o nosso fator integrante fica assim
Tudo bem até aqui?
Assim nosso fator integrante é
Passo 3
Agora que calculamos nosso fator integrante, vamos para a solução! Sendo a equação diferencial assim
Por isso que precisávamos encontrar antes o fator integrante! Vamos recapitular! Nossa edo
Aí temos
E o fator integrante
Agora é substituir na solução !
Agora basta resolver!
Aí nossa solução fica assim
Tudo tranquilo até aqui? Agora precisamos descobrir o valor dessa constante!
Passo 4
Nossa solução é a seguinte:
E sabemos que , assim
Está aí!
E a solução particular para a equação diferencial dada é
Belezinha?
E o intervalo de validade? Como não tivemos nenhuma restrição ao longo do caminho, nossa solução é válida em todos os reais!
Ufa! Acabamos! Espero ter te ajudado!