UFRJ. Cálculo 2. P1. 2022.1. Questão 5.
Considere o problema de valor inicial , . O valor de é igual a
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nessa questão temos uma EDO linear de primeira ordem no estilo
temos que obter sua solução com base no valor inicial e obter o valor da solução aplicada em .
Quando temos uma EDO desse tipo, seguimos um passo a passo para obter a solução.
Lembra como fazemos para obter a solução nesse caso?? 🤔
O primeiro de tudo é reescrever a função fazendo com que tenhamos multiplicado por , logo temos que manipular nossa EDO pra obter isso.
Aqui é nosso ponto de início. Bora começar? 😁
Passo 2
Para eliminar do nosso podemos dividir os dois lados da equação por ele, não é?
Agora que o índice multiplicado por é , podemos iniciar o passo a passo!
Primeiro identificamos e no caso
Então
Com isso, a gente calcula o fator integrante pela formula
Podemos desconsiderar a constante no fim desta integração
Calculando a integral de pelo teorema fundamental do cálculo, temos
Substituindo em
Por propriedade logarítmica e exponencial
Logo nosso fator integrante é
Tranquilo até aqui? 👀
Passo 3
Depois disso, a gente aplica uma formula para obter a solução
Substituindo os dados que temos
Por integração polinomial, a integral de é dada somando no expoente de e o dividindo pelo resultado da soma
Logo a solução é dada como
Agora, como nosso problema possui um valor inicial, vamos obter o valor de .
Pra isso, no enunciado foi dito que . O que podemos fazer para usar essa informação?
Passo 4
Podemos substituir por e como , vamos obter
Ou seja, nossa solução completa é dada por
Por fim, queremos descobrir o resultado de !
Substituindo por , temos
Manipulando , temos
Logo encontramos o resultado , ou seja, a alternativa correta é a letra (d)!
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
