Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

Ver Teoria
Exercício 205123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFPA, Sem Campus, Cálculo I - Profº João Rodrigues - Lista de Exercícios 01, Questão 9e

Determine os pontos   ( t 0 ,   y 0 ) , para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial d y d x   =   f ( t ,   y ) , y ( t 0 ) = y 0 tem solução única.

(e) Se   f ( t ,   y )   = 2 t - y t - 2 y ;

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que determinar os pontos   ( t 0 ,   y 0 ) , para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial d y d x   =   f ( t ,   y ) , y ( t 0 ) = y 0 tem solução única.

Sendo   f ( t ,   y )   = 2 t - y t - 2 y ;

Temos pelo teorema de existência e unicidade que se f ( t ,   y ) e ∂ ∂ t f ( t ,   y ) forem contínuas na região triangular a ≤   t   ≤   b e c   ≤   y   ≤   d do plano t   y , então existe um intervalo I centrado em ( t 0 ,   y 0 ) e uma única função y ( t ) definida em I que satisfaz o nosso problema de valor inicial.

Então vamos verificar quais são os intervalos que f ( t ,   y ) e ∂ ∂ t f ( t ,   y ) são contínuas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos calcular ∂ ∂ t f ( t ,   y ) :

∂ ∂ t f ( t ,   y ) = ∂ ∂ t 2 t - y t - 2 y = 2 ( t - 2 y ) - ( 2 t - y ) ( t - 2 y ) 2 = - 3 y ( t - 2 y ) 2

Como temos t - 2 y no denominador temos que:

t - 2 y ≠ 0

t ≠ 2 y .

Passo 3

Olhando para f ( t ,   y ) = 2 t - y t - 2 y , temos t - 2 y no denominador então a restrição se repete:

t - 2 y ≠ 0

t ≠ 2 y .

Passo 4

Então para o problema de valor inicial d y d x   =   f ( t ,   y ) , y ( t 0 ) = y 0 ter solução única temos

t ≠ 2 y

sendo ( t 0 ,   y 0 ) contido nesse intervalo.

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da solução.

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação diferencial.y^' = (e^y)/(x y)
Resolva a equação diferencial:y^' = x e^(x - y) c o s s e c y
Resolva o problema de valor inicial.t (d u)/(d t) = t^2 + 3 u , t0 , u (2) = 4
Determine se a equação diferencial é linear.x y + sqrt(x) = e^x y '
Determine se a equação diferencial é linear.x y^' + ln x - x^2 y = 0