UTFPR– Equações Diferenciais – AVA1 – Lista 4 – Questão 2a
Nos problemas de (a) até (c), resolva o problema de valor inicial. Dê o maior intervalo sobre o qual cada solução está definida
Passo 1
Oi povo, tudo bem por aí? Seguinte: precisamos resolver essa equação diferencial aqui
Nosso instinto é tentar separar tudo que tem para um lado, tudo que tem para o outro e integrar, não é verdade?
Mas nesse caso não dá!
Então como resolver? Aí você precisa lembrar do segundo método de resoluções que você aprendeu: resolução por fator integrante
Precisamos verificar se nossa equação diferencial pode ser escrita da seguinte forma
Fazendo isso vamos proceder em duas etapas:
1º) determinar o fator integrante:
2º) depois de achar , a solução dessa equação é
E aí é só resolver essa integral no lado direito e tá pronta nossa solução! Será que acabou?
Não! Ainda não! Precisamos ainda determinar a solução particular! Temos uma condição particular para nossa solução, nesse caso
Então depois de encontrar a solução, precisamos achar a constante que satisfaz essa condição e ainda por fim determinar o maior intervalo onde a solução é válida!
E é “só” isso!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Já descobrimos qual o método que vamos usar, agora é #partiusolução
No método de fator integrante, nós vamos chamar esse fator de e considerando que nossa edo está escrita assim
Nosso fator integrante é
Beleza? Essa é nossa primeira missão! Achar o fator integrante! No passo seguinte te mostro qual é a solução! Mas como ela envolve esse , vamos fazer um passo de cada vez!
Nossa edo é
Vamos começar dividindo tudo por
Pronto! Nossa edo já está no formato que queremos! Temos que
E o nosso fator integrante fica assim
Para que nossa solução seja válida, precisamos que esse seja positivo, já que ele vem de dentro de um logaritmo!
Tudo bem até aqui?
Assim nosso fator integrante é
Passo 3
Agora que calculamos nosso fator integrante, vamos para a solução! Sendo a equação diferencial assim
Por isso que precisávamos encontrar antes o fator integrante! Vamos recapitular! Nossa edo
Aí temos
E o fator integrante
Agora é substituir na solução !
Agora basta resolver!
Aí nossa solução fica assim
Tudo tranquilo até aqui? Agora precisamos descobrir o valor dessa constante!
Passo 4
Nossa solução é a seguinte:
E sabemos que , assim
Está aí!
E a solução particular para a equação diferencial dada é
Belezinha?
E é isso! Acabou a questão! Vamos para a próxima?