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Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

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Enunciado

UTFPR– Equações Diferenciais – AVA1 – Lista 4 – Questão 1b

Nos problemas de (a) até (l), encontre a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.

b ) d y d x + y = e 3 x

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Vou te ajudar nessa questão! Bora! Precisamos resolver essa equação diferencial ordinária aqui

d y d x + y = e 3 x

Vamos relembrar quais técnicas de resolução nós conhecemos (até agora):

  • x para um lado, tudo que envolve y para o outro e integrar! Mas infelizmente não conseguimos fazer isso com a nossa edo! (tenta você mesmo! Vai ver que não dá)
  • Fator integrante: para aplicar esse método precisamos que a edo esteja nesse formato aqui

y ' + P x y = Q ( x )

Essa é bem promissora! Mas calma! Antes de sair querendo a solução, precisamos arrumar nossa edo!

Se você olhar a nossa equação com carinho, vai ver que tem um y ali dando sopa! E é essa a nossa pista que nos leva ao método de solução de edo por fator integrante!

x que deixam a solução inválida, tipo divisão por zero, logaritmo de número negativo, essas coisas

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Já descobrimos qual o método que vamos usar, agora é #partiusolução

No método de fator integrante, nós vamos chamar esse fator de μ e considerando que nossa edo está escrita assim

y ' + P x y = Q ( x )

Nosso fator integrante é

μ = e ∫ P ( x ) d x

μ , vamos fazer um passo de cada vez!

Nossa edo é

d y d x + y = e 3 x

Vamos começar trocando d y d x por y '

y ' + 1 y = e 3 x

Pronto! Nossa edo já está no formato que queremos! Temos que

P x = 1 ; Q x = e 3 x

E o nosso fator integrante fica assim

μ = e ∫ 1 d x = e x

Tudo bem até aqui?

Assim nosso fator integrante é

μ = e x

Obs.: Até aqui não temos restrição para o x . Mas você pode encontrar em outras questões, e aí precisa ir anotando tudo que o x não pode ser, ok?

Passo 3

Agora que calculamos nosso fator integrante, vamos para a solução! Sendo a equação diferencial assim

y ' + P x y = Q ( x )

A solução y ( x ) via fator integrante é essa aqui

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

Por isso que precisávamos encontrar antes o fator integrante! Vamos recapitular! Nossa edo

y ' + y = e 3 x

Aí temos

P x = 1 ; Q x = e 3 x

E o fator integrante μ

μ = e x

Agora é substituir na solução y ( x ) !

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

y . e x = ∫ e x . e 3 x d x

Agora basta resolver!

y . e x = ∫ e 4 x   d x = e 4 x 4 + c

Aí nossa solução fica assim

y = e 4 x 4 e x + c e x

y x = e 3 x 4 + c e x

E o intervalo de validade? Como temos uma exponencial como solução, e ela é válida para qualquer valor de x , então nosso maior intervalo possível é

I = ( - ∞ , + ∞ )

E é isso! Acabou a questão! Vamos para a próxima?

Resposta

y x = e 3 x 4 + c e x

I = ( - ∞ , + ∞ )

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