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Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

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Enunciado

UFPA, Sem Campus, Cálculo I - Profº João Rodrigues - Lista de Exercícios 01, Questão 8i

Resolva a equação diferencial dada usando uma substituição apropriada.

(i)   2 x   c s c ( 2 y )   d y d x   =   l n ( t g   y )

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que resolver a equação diferencial

2 x   c s c ( 2 y )   d y d x   =   l n ( t g   y )

fazendo uma substituição adequada para simplificar essa resolução. Vamos lá!

Passo 2

Olhando para a equação diferencial

  2 x   c s c ( 2 y )   d y d x   =   l n ( t g   y )

Reescrevendo 2   c s c ( 2 y ) :

2   c s c ( 2 y ) = 2 s i n ( 2 y ) = 1   s i n ( y ) c o s ( y )

Voltando

    x   s i n ( y ) c o s ( y ) d y d x   =   l n ( t g   y )

Agora vamos tentar a substituição:

u = l n ( t g   y )

Assim,

d u d x = 1 t g   y   1 c o s 2 y d y d x = 1 s i n   y   c o s   y d y d x .

Substituindo na equação:

x   d u d x = u

Esse tipo de equação pode ser resolvida pelo método da separação de variáveis.

Passo 3

Temos que a solução para a equação

x   d u d x = u

Pode ser obtida pelo método da separação de variáveis:

d u u = d x x

Integrando de ambos os lados

∫ d u u = ∫ d x x

Assim, resolvendo as integrais simples

l n   u = l n   x + C

Passo 4

Então para voltar ao problema inicial lembramos que u = l n   t g   y , assim

l n   ( l n   t g   y ) = l n   x + C .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

l n   ( l n   t g   y ) = l n   x + C .

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