UFSCAR, Sem Campus, Séries e Equações Diferenciais, Listas da Prof. Thaís Dalbelo - Lista 1, Questão 7c
A solução do problema de valor inicial é:
Passo 1
Fala galera, tudo beleza? Vamos para mais uma questão. Nosso objetivo é solução do problema de valor inicial
Lembram como fazemos isso?
Primeiro, precisamos obter a solução geral da equação diferencial. Para obtermos a solução geral, usamos o método do fator integrante. Que consiste em multiplicar a nossa equação por outra função para podermos simplificar a equação diferencial. O método funciona da seguinte forma:
Pegamos o lado esquerdo da equação diferencial e multiplicamos por uma função . Então temos:
Agora vem a parte legal, nós supomos que a função é tal que:
Ou seja, temos que
Que uma equação diferencial clássica. Temos que
Essa mu é chamada de fator integrante. Depois que descobrimos quem é essa mu, basta substituir em e descobrimos quem é .
E, por fim, descobrimos a constante integração usando o valor da função em um ponto.
Bacana, né? Vamos resolver a questão!!!
Passo 2
Como vimo no passo anterior, precisamos calcular o fator integrante que descobrimos que é:
Como a equação que queremos resolver é
Vamos colocar a equação na forma
Então temos que:
Dessa forma,
Substituindo na equação
temos:
integrando dos dois lados temos:
E dessa forma mostramos que a solução geral da equação diferencial é:
Passo 3
No passo anterior, descobrimos que a solução geral da equação
é:
Mas, queremos a solução do problema de valor inicial. Então precisamos descobrir qual é a constante em . Bem, é informado que , então:
Dessa forma, a solução do problema inicial
é:
Prontinho pessoal!! Finalizamos mais uma questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊