EDO linear de 1ª ordem
Determine a solução geral da equação diferencial:
Passo 1
Bem, bem... Temos uma derivada ao quadrado ali meio bizarra, a parada não parece estar amigável, como proceder? Vou começar dividindo tudo por por que da pra ver que tem um extra aí sobrando nessa EDO:
Ok, acho que melhorou um pouco a cara, vamos pensar no seguinte: com essa cara de EDO a gente não consegue desenvolver nada do que trabalhamos, então precisamos procurar uma saída. Perceba que essa EDO não mostra qual é a variável independente, ou seja, se depende de , ou de , “tá legal, e daí?” A ideia é, como esse cara não tem a variável independente explicitada, eu vou fazer uma substituição que faça o próprio virar a variável independente (WTF?!) Calma, vamos ver isso agora. Vamos fazer a substituição:
Assim, derivando:
Logo, nossa EDO vai ficar
Dividindo tudo por :
Sacou? Antes era que era a variável dependente, agora é !
Passo 2
Agora temos que resolver uma EDO de primeira ordem linear, vamos começar dividindo tudo por :
Agora calculamos a integral:
OBS: Ele já supôs na questão que
Agora calculamos
Assim a solução é:
Mas calma, a gente não começou calculando , a gente quer saber quem é , então vamos voltar a substituição :
Esse cara é uma EDO separável!
Passo 3
Vamos separar esse rapazola:
Integrando de ambos lados:
Resolvendo a integral:
Como o numerador e o denominador têm o mesmo grau do polinômio, mas podemos manipular isso aí e chegar aonde a gente quer:
Então fica:
A outra integral é:
Assim a solução da separável e consequentemente da EDO é: