EDO linear de 1ª ordem
Considere o problema de valor inicial
- Resolva este problema para e
- O problema tem solução para ? Podemos usar o teorema da existência e unicidade para responder esta questão?
- Justifique que para o problema tem solução.
Passo 1
a)
Vamos começar resolvendo essa EDO
Essa é uma EDO linear de ordem. Vamos arrumar para deixar sozinho.
Com
Passo 2
Resolvendo
Vamos ter
E
Vamos começar achando o fator integrante
Sendo:
Logo o fator integrante fica
Passo 3
Para simplificar, vamos definir:
Vamos agora achar
Infelizmente essa integral não tem solução, então vamos escrevê-la usando um pouco do conceito do teorema fundamental do cálculo.
Começamos essa integral no porque foi o valor inicial de que ele deu.
Passo 4
Agora vamos ter
Passo 5
Agora temos que achar o valor de , lembrando que
Então
Assim vamos ter
Ele não deu condição nenhuma para os valores de então temos que deixar aquele módulo mesmo.
Passo 6
b)
Não vimos o teorema da existência e unicidade na teoria, vamos enunciá-lo aqui:
Dada uma função tal que ela é continua em um retângulo aberto , com também contínua em . Então, dado um ponto de , temos que a equação diferencial
Tem uma única solução definida em algum intervalo aberto contendo .
Beleza, basicamente esse teorema garante que o PVI tem solução se aquela função é continua em um intervalo de e e a derivada em relação a dessa também é contínua nesse mesmo intervalo.
No problema que ele deu temos
Assim
E vamos ter
Para o teorema valer as hipóteses dele devem estar valendo para essa função e para esse ponto .
Repara que a função é contínua para qualquer valor de e , menos .
Então essa EDO não está satisfazendo as hipóteses do teorema, então ele pode ou não valer neste caso, portanto não podemos usar o teorema da existência e unicidade aqui!
Olhando a solução que achamos ali em cima para um qualquer vai ser trocando por , ficando
Se vamos ter
Assim devemos ter
Assim, o problema só pode ter solução se para . Nessas condições, temos
Sendo:
Que não existe. Portanto, não há solução para .
Passo 7
c)
Ele deu um valor qualquer de que seja diferente de , então vamos ver se podemos usar o teorema da existência e unicidade, vimos que
É contínua se que nesse caso é, então vamos ver
Que também vai ser contínuo para , então pelo teorema da existência e unicidade sempre que vamos ter solução.
Já vimos que essa solução vai ser
Resposta
a)
b)
Não podemos usar o Teorema da existência e unicidade, e não há solução para .
c)
Existe solução, a demonstração está no passo a passo