UTFPR– Equações Diferenciais – AVA1 – Lista 4 – Questão 1j
Nos problemas de (a) até (l), encontre a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.
Passo 1
E aí pessoal, beleza? Vou te ajudar nessa questão! Bora! Precisamos resolver essa equação diferencial ordinária aqui
Vamos relembrar quais técnicas de resolução nós conhecemos (até agora):
- Variáveis separáveis: para aplicar esse método precisamos jogar tudo que envolve para um lado, tudo que envolve para o outro e integrar! Mas infelizmente não conseguimos fazer isso com a nossa edo! (tenta você mesmo! Vai ver que não dá)
-
Fator integrante: para aplicar esse método precisamos que a edo esteja nesse formato aqui
Essa é bem promissora! Mas calma! Antes de sair querendo a solução, precisamos arrumar nossa edo!
Se você olhar a nossa equação com carinho, vai ver que tem um ali dando sopa! E é essa a nossa pista que nos leva ao método de solução de edo por fator integrante! Os outros coeficientes só dependem de , então é esse mesmo o método!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Já descobrimos qual o método que vamos usar, agora é #partiusolução
No método de fator integrante, nós vamos chamar esse fator de e considerando que nossa edo está escrita assim
Nosso fator integrante é
Nossa edo é
Vamos começar trocando por e dividindo tudo por
E aqui vou usar um truque sujo: separar o numerador em : assim fico com dois termos que são ‘integráveis’ ali na frente do
Pronto! Nossa edo já está no formato que queremos! Temos que
E o nosso fator integrante fica assim
Podemos separar esse expoente em duas integrais!
Aí temos
Tudo bem até aqui?
Assim nosso fator integrante é
Obs.: temos que o argumento do logaritmo deve ser sempre positivo, então nossa solução até então (podem surgir outras restrições) é válida para
Beleza?
Passo 3
Agora que calculamos nosso fator integrante, vamos para a solução! Sendo a equação diferencial assim
Por isso que precisávamos encontrar antes o fator integrante! Vamos recapitular! Nossa edo
Aí temos
E o fator integrante
Agora é substituir na solução !
Agora basta resolver!
Aí nossa solução fica assim
E o intervalo de validade? Só tivemos aquela restrição do logaritmo, então nossa solução é válida em
E é isso! Acabou a questão! Vamos para a próxima?