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Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

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Enunciado

Resolva as seguintes equações diferenciais ou problemas de valor inicial, conforme seja o caso.

a) x 2 + 1 y ' + 4 x y = 12 x ,     y 0 = 2

Passo 1

Olá! Tudo bem? Vamos começar achando y x .

Nós percebemos que essa EDO é linear. Por que? Cara, do lado direito só tem função de x , do esquerdo temos y e a derivada em soma, os dois com expoente 1 . E não temos produto entre funções ou derivadas de y .

Isso são as características gerais da EDO linear!

Primeira coisa a fazer quando a gente tem uma EDO linear é ver se y ' está multiplicado só por 1 . Não tá né? Ele tá multiplicado por ( x 2 + 1 ) , então a gente vai dividir tudo por ( x 2 + 1 ) :

x 2 + 1 y ' + 4 x y = 12 x ∴ y ' + 4 x x 2 + 1 y = 12 x x 2 + 1

Então agora a gente vai comparar ela com:

d y d x + A x   y = B ( x )

Daí a gente pode chamar:

A x = 4 x x 2 + 1 ,     B x = 12 x x 2 + 1

Com essas coisinhas, a gente resolve nossa EDO.

Passo 2

Primeira coisa a fazer é achar o fator integrante:

I x = e ∫ A x d x

∫ A x d x = ∫ 4 x x 2 + 1 d x

Vamos usar a substituição

u = x 2 + 1 ∴ d u d x = 2 x ∴ d u = 2 x   d x

∫ A x d x = ∫ 2 u d x = 2 ln ⁡ u = 2 ln ⁡ x 2 + 1

∴

I x = e 2 ln ⁡ | x 2 + 1 |

Usando propriedades de potência e log a gente escreve:

I x = e ln ⁡ x 2 + 1 2 = e ln ⁡ x 2 + 1 2 = x 2 + 1 2

Passo 3

Aí temos uma fórmulinha para a solução:

y x = 1 I x ∫ I x ⋅ B x d x + C

∴

y x = 1 x 2 + 1 2 ∫ x 2 + 1 2 ⋅ 12 x x 2 + 1   d x + C

y ( x ) = 1 x 2 + 1 2 ∫ 12 x x 2 + 1 d x + C

Fazendo a substituição u = x 2 + 1 , a gente acha:

y ( x ) = 1 x 2 + 1 2 3 x 2 + 1 2 + C

y x = 3 + C x 2 + 1 2

Acabou? Pior que não haha

Passo 4

Ele disse que:

y 0 = 2

Agora a gente usa essa informação que enunciado deu para achar C :

y x = 3 + C x 2 + 1 2

y 0 = 3 + C 0 + 1 2 = 2 ∴ C = - 1

Nossa solução fica então

y x = 3 - 1 x 2 + 1 2

Resposta

y x = 3 - 1 x 2 + 1 2

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