UTFPR– Equações Diferenciais – AVA1 – Lista 4 – Questão 1e
Nos problemas de (a) até (l), encontre a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.
Passo 1
Fala pessoal, tudo ok por aí? Essa questão parece ser estranha, mas vou te ajudar! Precisamos resolver essa equação diferencial ordinária aqui
Vamos relembrar quais técnicas de resolução nós conhecemos:
-
x para um lado, tudo que envolve para o outro e integrar! Mas infelizmente não conseguimos fazer isso com a nossa edo! (tenta você mesmo! Vai ver que não dá) - Fator integrante: para aplicar esse método precisamos que a edo esteja nesse formato aqui
Essa é bem promissora! Mas calma! Antes de sair querendo a solução, precisamos arrumar nossa edo!
Se você olhar a nossa equação com carinho, vai ver que tem um ali dando sopa! E é essa a nossa pista que nos leva ao método de solução de edo por fator integrante!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Passo 2
Já descobrimos qual o método que vamos usar, agora é #partiusolução
No método de fator integrante, nós vamos chamar esse fator de e considerando que nossa edo está escrita assim
Nosso fator integrante é
Beleza? Essa é nossa primeira missão! Achar o fator integrante! No passo seguinte te mostro qual é a solução! Mas como ela envolve esse , vamos fazer um passo de cada vez!
Nossa edo é
Vamos começar dividindo tudo por (aqui precisamos remover o da validade da solução) e já vou escrever como :
Pronto! Temos que
E o nosso fator integrante fica assim
Tudo bem até aqui?
Assim nosso fator integrante é
Obs.: como nosso fator integrante envolve um logaritmo em uma das etapas, precisamos garantir que no final a solução também seja com , para garantir a validade dela.
Passo 3
Agora que calculamos nosso fator integrante, vamos para a solução! Sendo a equação diferencial assim
A solução via fator integrante é essa aqui
Por isso que precisávamos encontrar antes o fator integrante! Vamos recapitular! Nossa edo
Aí temos
E o fator integrante
Agora é substituir na solução !
Agora basta resolver!
Aí nossa solução fica assim
E o intervalo de validade? Lembra que retiramos o ? No nosso fator integrante surgiu um , então precisamos garantir que esse seja positivo, sendo assim
E é isso! Terminamos! Vamos para a próxima?