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Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

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Enunciado

UFPE, Cálculo 4, P1-2019.1, Questão 1a

Resolva as seguintes equações diferenciais, e problemas de valor inicial.

y ' - 2 x y = x   ,   y 0 = 1

Passo 1

A primeira coisa que a gente tem que fazer é verificar o tipo de EDO que nós temos para resolvê-la:

y ' - 2 x y = x  

Essa é uma EDO linear do tipo y ' + A ( x ) y = B ( x )  

Sendo

A x = - 2 x

B x = x

Passo 2

A nossa EDO linear tem solução geral desse tipo:

y x = 1 I ( x ) ∫ I x B x d x + C  

E o I x é dado por:

I x = e ∫ A x d x

Resolvendo nossa EDO:

I x = e ∫ A x d x = e ∫ - 2 x d x

I x = e - x ²

Sem constante mesmo, porque ela aparece na formula geral, já contemplando todas. Agora vamos resolver:

∫ I x B x d x = ∫ x e - x ²   d x

Resolvendo a integral por partes:

u = x ²

d u = 2 x d x

d x = d u 2 x

Substituindo na integral:

∫ x e - x ² = ∫ x e - u d u 2 x = 1 2 ∫ e - u

1 2 ∫ e - u = - 1 2 e - u = - 1 2 e - x ²

Passo 3

Agora vamos substituir tudo na fórmula geral:

y x = 1 I ( x ) ∫ I x B x d x + C  

y x = 1 e - x ² - 1 2 e - x 2 + C

y x = - 1 2 e - x 2 e - x 2 + C e - x 2

y x = - 1 2 + C e - x 2

É a solução da nossa equação.

Passo 4

Aplicar a condição inicial:

y x = - 1 2 + C e - x 2

  y 0 = 1

y 0 = - 1 2 + C e 0

y 0 = - 1 2 + C 1 = 1

- 1 2 + C 1 = 1

C = 3 2

Substituindo na equação geral:

y x = - 1 2 + C e - x 2 = - 1 2 + C e x 2

y x = 3 2 e x 2 - 1 2

Resposta

y x = 3 2 e x 2 - 1 2 é solução da equação diferencial.

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