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Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

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Enunciado

A solução geral da equação diferencial

2 y ' + 1 x y = 3 ,     ( x > 0 )

É (onde C ∈ R )

  1. x + C / x
  2. 3 2 x + C / x
  3. 3 2 x + C / x
  4. x + C / x
  5. x + C

Passo 1

Repara que temos um equação linear de 1 º ordem, devemos usar o fator integrante para resolver essa EDO

Primeiro vamos deixar o y ' isolado

y ' + 1 2 x y = 3 2

E agora olhando para o formato geral da EDO Linear de 1ª ordem, ou seja, y ' + A x y x = B ( x ) , identificamos:

A x = 1 2 x     e     B x = 3 2

Passo 2

Beleza...Vamos calcular o fator integrante agora? Lembra que ele é dado por I x = e ∫ A ( x ) d x ?

Calculando primeiro aquela integral que aparece ali em cima (sem adicionar o + C no final, hein):

∫ A ( x ) d x = ∫ 1 2 x d x = 1 2 ln ⁡ x = ln ⁡ x

Looogooo....O nosso fator integrante vale:

I x = e ln ⁡ x = x

Passo 3

Nós vamos calcular agora uma integral que aparece envolvendo o lado direito da equação, beleza? Ahh...também não vamos adicionar o + C no final...

∫ I ( x ) B ( x ) d x = ∫ x ∙ 3 2 d x = x 3 / 2

Passo 4

Agora só nos resta calcular a solução geral dada por:

y x = 1 I x ∫ I ( x ) B ( x ) d x + C = 1 x x 3 / 2 + C = C x + x

Resposta

Letra d = C x + x

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