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Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

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Enunciado

UTFPR– Equações Diferenciais – AVA1 – Lista 4 – Questão 1i

Nos problemas de (a) até (l), encontre a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.

i ) cos ⁡ x d y d x + ( s e n   x ) y = 1

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem por aí? Vou te ajudar nessa questão! Bora! Precisamos resolver essa equação diferencial ordinária aqui

cos ⁡ x d y d x + s e n   x y = 1

Vamos relembrar quais técnicas de resolução nós conhecemos (até agora):

  • x para um lado, tudo que envolve y para o outro e integrar! Mas infelizmente não conseguimos fazer isso com a nossa edo! (tenta você mesmo! Vai ver que não dá)
  • Fator integrante: para aplicar esse método precisamos que a edo esteja nesse formato aqui

y ' + P x y = Q ( x )

Essa é bem promissora! Mas calma! Antes de sair querendo a solução, precisamos arrumar nossa edo!

Se você olhar a nossa equação com carinho, vai ver que tem um y ali dando sopa! E é essa a nossa pista que nos leva ao método de solução de edo por fator integrante!

x que deixam a solução inválida, tipo divisão por zero, logaritmo de número negativo, essas coisas

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Já descobrimos qual o método que vamos usar, agora é #partiusolução

No método de fator integrante, nós vamos chamar esse fator de μ e considerando que nossa edo está escrita assim

y ' + P x y = Q ( x )

Nosso fator integrante é

μ = e ∫ P ( x ) d x

μ , vamos fazer um passo de cada vez!

Nossa edo é

cos ⁡ x d y d x + s e n   x y = 1

Vamos começar trocando d y d x por y ' e dividindo tudo por cos ⁡ x

y ' + s e n   x cos ⁡ x y = 1 cos ⁡ x

Pronto! Nossa edo já está no formato que queremos! Temos que

P x = s e n   x cos ⁡ x ; Q x = 1 cos ⁡ x

E o nosso fator integrante fica assim

μ = e ∫ s e n   x cos ⁡ x d x

Para essa integral vamos chamar

u = cos ⁡ x

d u = - s e n   x   d x → s e n x   d x =   - d u

Aí temos

μ = e ∫ s e n   x cos ⁡ x d x = e - ∫ 1 u d u = e - ln ⁡ u = e ln ⁡ u - 1 = u - 1

E agora voltando para x

μ = cos ⁡ x - 1 = 1 cos ⁡ x  

Tudo bem até aqui?

Assim nosso fator integrante é

μ = 1 cos ⁡ x  

Obs.: Até aqui não temos restrição para o x . Mas você pode encontrar em outras questões, e aí precisa ir anotando tudo que o x não pode ser, ok?

Passo 3

Agora que calculamos nosso fator integrante, vamos para a solução! Sendo a equação diferencial assim

y ' + P x y = Q ( x )

y ( x ) via fator integrante é essa aqui

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

Por isso que precisávamos encontrar antes o fator integrante! Vamos recapitular! Nossa edo

y ' + s e n   x cos ⁡ x y = 1 cos ⁡ x

Aí temos

P x = s e n   x cos ⁡ x ; Q x = 1 cos ⁡ x

E o fator integrante μ

μ = 1 cos ⁡ x  

Agora é substituir na solução y ( x ) !

y μ = ∫ μ Q ( x ) d x

y . 1 cos ⁡ x = ∫ 1 cos ⁡ x . 1 cos ⁡ x d x

Agora basta resolver!

y cos ⁡ x = ∫ sec 2 ⁡ x   d x = t g x + c

Aí nossa solução fica assim

y = cos ⁡ x . t g x + c .   c o s   x = cos ⁡ x . s e n x cos ⁡ x + c . cos ⁡ x

y x = s e n   x + c cos ⁡ x

E o intervalo de validade? Como dividimos pela função cos ⁡ x lá no começo, precisamos garantir que cos ⁡ x ≠ 0 , e isso ocorre no maior intervalo entre

I = - π 2 , + π 2

E é isso! Acabou a questão! Vamos para a próxima?

Resposta

y x = s e n   x + c cos ⁡ x

I = - π 2 , + π 2

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