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Exercícios Resolvidos de EDO Linear de 1ª Ordem

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Enunciado

UTFPR– Equações Diferenciais – AVA1 – Lista 4 – Questão 1k

Nos problemas de (a) até (l), encontre a solução geral da equação diferencial dada. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução geral está definida.

k ) d r d θ + r sec ⁡ θ = cos ⁡ θ

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vou te ajudar nessa questão! Vem comigo! Precisamos resolver essa equação diferencial ordinária aqui

d r d θ + r sec ⁡ θ = cos ⁡ θ

Vamos relembrar quais técnicas de resolução nós conhecemos (até agora):

  • x para um lado, tudo que envolve y para o outro e integrar! Mas infelizmente não conseguimos fazer isso com a nossa edo! (tenta você mesmo! Vai ver que não dá)
  • Fator integrante: para aplicar esse método precisamos que a edo esteja nesse formato aqui

y ' + P x y = Q ( x )

No nosso caso temos que

y → r   ; x → θ

Aí nossa edo fica assim

r ' + P θ r = Q ( θ )

Essa é bem promissora! Se você olhar a nossa equação com carinho, vai ver que tem um r ali dando sopa! E é essa a nossa pista que nos leva ao método de solução de edo por fator integrante!

θ que deixam a solução inválida, tipo divisão por zero, logaritmo de número negativo, essas coisas

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Já descobrimos qual o método que vamos usar, agora é #partiusolução

No método de fator integrante, nós vamos chamar esse fator de μ e considerando que nossa edo está escrita assim

r ' + P θ r = Q ( θ )

Nosso fator integrante é

μ = e ∫ P θ d θ

Beleza? Essa é nossa primeira missão! Achar o fator integrante! No passo seguinte te mostro qual é a solução! Mas como ela envolve esse μ , vamos fazer um passo de cada vez!

Nossa edo é

d r d θ + r sec ⁡ θ = cos ⁡ θ

Vamos trocar d r d θ por r ' e a equação já está no formato que queremos

r ' + sec ⁡ θ . r = cos ⁡ θ

E o nosso fator integrante fica assim

μ = e ∫ sec ⁡ θ d θ = e ln ⁡ sec ⁡ θ + t g θ = sec ⁡ θ + t g θ

Tudo bem até aqui?

Assim nosso fator integrante é

μ = sec ⁡ θ + t g θ

Passo 3

Agora que calculamos nosso fator integrante, vamos para a solução! Sendo a equação diferencial assim

r ' + P θ r = Q ( θ )

r ( θ ) via fator integrante é essa aqui

r μ = ∫ μ Q θ d θ

Por isso que precisávamos encontrar antes o fator integrante! Vamos recapitular! Nossa edo

r ' + sec ⁡ θ . r = cos ⁡ θ

Aí temos

P θ = sec ⁡ θ ; Q θ = cos ⁡ θ

E o fator integrante μ

μ = sec ⁡ θ + t g θ

Agora é substituir na solução r ( θ ) !

r μ = ∫ μ Q θ d θ

r . ( sec ⁡ θ + t g θ ) = ∫ ( sec ⁡ θ + t g θ ) . cos ⁡ θ d θ

Agora basta resolver!

r . sec ⁡ θ + t g θ = ∫ sec ⁡ θ cos ⁡ θ d θ + ∫ t g θ cos ⁡ θ

Mas sabemos que sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ   e que t g θ = s e n θ cos ⁡ θ , daí podemos resolver as integrais do lado direito

r . sec ⁡ θ + t g θ = ∫ d θ + ∫ s e n θ = θ - cos ⁡ θ + c

Aí nossa solução fica assim

r ( θ ) = θ sec ⁡ θ + t g θ - cos ⁡ θ sec ⁡ θ + t g θ + c sec ⁡ θ + t g θ

E o intervalo de validade? Como dividimos pela função cos ⁡ x lá no começo, precisamos garantir que cos ⁡ x ≠ 0 , e isso ocorre no maior intervalo entre

I = - π 2 , + π 2

E é isso! Acabou a questão! Vamos para a próxima?

Resposta

r ( θ ) = θ sec ⁡ θ + t g θ - cos ⁡ θ sec ⁡ θ + t g θ + c sec ⁡ θ + t g θ

I = - π 2 , + π 2

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