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Exercícios Resolvidos de Energia Cinética de Rotação

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Enunciado

Rotação, Momento de Inércia

Um cilindro uniforme, uma esfera, e um tubo (oco) são lançados horizontalmente, com a mesma velocidade, em uma superfície plana, em direção a um plano inclinado. Os três tem o mesmo raio, e rolam sem deslizar. Qual deles atinge uma altura maior no plano inclinado?

a) É necessário saber as massas para realizar o cálculo.

b) A esfera.

c) Os três atingem a mesma altura.

d) O tubo oco.

e) O cilindro maciço.

Passo 1

A gente percebe que a única diferença entre os itens é o formato, e em relação à massa nada foi falado sobre. Podemos escrever, pela conservação da energia mecânica:

K i + U i = K f + U f

Sabemos que o U i = 0 e ao atingir o ponto mais alto, K f = 0 , logo:

K i = U f

K r o t a ç ã o + K t r a n s l a ç ã o = U f

I ω 2 2 + M v 2 2 = M g h

Como v = ω R

I ω 2 + M ω 2 R 2 = 2 M g h

ω 2 M R 2 + I = 2 M g h

Passo 2

Sabemos que cada formato tem momentos de inércia I diferentes. Isso é facilmente calculado utilizando ferramentas como integrais múltiplas, que provavelmente vocês ainda não viram, então o aconselhado é decorar [infelizmente] o momento de inércia dos principais sólidos.

I e s f e r a = 2 5 M R 2

I c i l i n d r o = M R 2 2

I t u b o = M R 2

Passo 3

Isolando o h e substituindo os valores dos I , teremos:

h = ω 2 2 M g [ M R 2 + I ]

h e s f e r a = ω 2 2 M g M R 2 + 2 5 M R 2 = 7 M R 2 ω 2 10 g

h c i l i n d r o = ω 2 2 M g M R 2 + 1 2 M R 2 = 3 M R 2 ω 2 4 g

h t u b o = ω 2 2 M g M R 2 + M R 2 = M R 2 ω 2 g

Logo:

h t u b o > h c i l i n d r o > h e s f e r a

Resposta

d) O tubo oco.

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