Sejam duas massas M e 2 M penduradas por um fio inextensível de massa desprezível a uma polia ilustrada na figura. A polia consiste um anel de massa M e raio R e 3 hastes de massa M . Veja a figura.

O momento de inércia rotacional da polia em relação ao seu eixo é I p = 2 M R 2 . O sistema é solto do repouso e o atrito é desprezível.

Determine a variação da energia potencial gravitacional do sistema desde o instante em que foi solto até o instante em que o módulo da velocidade das massas for igual a V .

Passo 1

Uma dica inicial: Não se desespere com detalhes estranhos (tipo essa polia bizarra). Leu a questão toda? Consegue imaginar a forma que você costuma resolver algo assim? Então vá em frente, e quando surgirem os detalhes estranhos, você pensa neles.

Dito isso, vamos começar a questão.

Como ele quer a variação da energia potencial gravitacional, esse é um problema de energia, e não vamos gastar tempo desenhando as forças do sistema. A conservação da energia diz que:

U i + K i = U f + K f

Onde U é a energia potencial do sistema e K é a energia cinética do sistema (tanto linear quanto rotacional).

Rearrumando, temos:

U f - U i = - K f - K i

Como o sistema parte do repouss, temos então que:

Δ U = - K f

Passo 2

Agora vamos achar a energia cinética final do sistema.

Como as massas estão unidas por um fio inextensível, então teremos que o módulo das velocidades vão ser iguais.

V 1 = V 2 = V

Pois elas vão sempre percorrer mesma distância em um mesmo tempo.

A energia cinética devido a essas massas então vai ser:

1 2 2 M V 2 + 1 2 M V 2 = 3 M V 2 2

Agora, temos a energia cinética de rotação da polia estranha, dada por:

1 2 I p ω 2

Pela cinemática do problema, temos:

ω = V R

E assim:

1 2 I p V 2 R 2  

De acordo com o problema, o momento de inércia da polia é I p = 2 M R 2 . Quando ele diz isso, ele quer dizer do anel junto com as hastes! Então é só substituir:

1 2 ⋅ 2 M R 2 ⋅ V 2 R 2 = 1 2 ⋅ 2 M V 2

O que dá que a energia cinética final do sistema vai ser:

K f = 3 M V 2 2 + 2 M V 2 2 = 5 M V 2 2

Logo:

Δ U = - 5 M V 2 2

Observação: Nota que o enunciado diferencia quem ele chama de “polia” (anel + hastes) e quem ele chama de “anel”, já dando direto o momento de inércia da polia toda. Então não se preocupe em calcular ele, já que o problema já te dá ele direto!

Se você fosse de fato calcular o momento de inércia da polia, precisaria somar o do anel e das três hastes.

I p = I a n e l + 3 ⋅ I h a s t e s = M R 2 + 3 ⋅ M 2 R 2 12

Sendo que o tamanho de cada haste é um diâmetro do anel. Assim:

I p = M R 2 + 4 M R 2 4 = 2 M R 2

De fato, o momento de inércia dado na questão.

Resposta

Δ U = - 5 M V 2 2

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