A hélice ligada ao rotor de um helicóptero é composta de três lâminas com cada uma tendo comprimento de 5,20   m e massa 240   k g . O rotor gira a 360 revoluções por minuto. Considere cada lâmina como uma haste fina.

Haste: I C M = 1 12 m l 2

a) Calcule o momento de inércia I C L do conjunto das lâminas em torno do eixo de rotação.

b) Determine a energia cinética de rotação K C L desse conjunto de três lâminas.

Passo 1

Para calcular o momento de inércia do conjunto, vamos somar os momentos de inércia de cada lámina.

Como as três lâminas são iguais e estão a uma mesma distância do eixo de rotação, seus momentos de inércia são iguais:

I C L = I L + I L + I L

I C L = 3 I L

Passo 2

Como calculamos o momento de inércia de cada lâmina I L ?

Sabemos o momento de inércia de uma haste fina com relação à um eixo perpendicular passando pelo seu centro de massa:

Como o eixo está passando pela extremidade, vamos usar o teorema dos eixos paralelos:

I L = I C M + m d 2

A distância d entre os eixos será metado do comprimento da haste:

I L = 1 12 M L 2 + M L 2 2

I L = M L 2 1 12 + 1 4

I L = M L 2 3

Passo 3

Voltando ao momento de inércia do conjunto, temos:

I C L = 3 I L

I C L = 3 M L 2 3

I C L = M L 2

Substituindo os valores:

I C L = 240 5,2 2

I C L = 6489,6

I C L = 6,49 × 10 3   k g . m 2

Passo 4

Na letra (b), queremos a energia cinética de rotação K C L .

A energia cinética de rotação será:

K C L = I C L ω 2 2

Passo 5

Mas como achamos a velocidade angular ω ?

Sabemos que o conjunto completa 360 revoluções por minuto.

Podemos calcular a velocidade angular com:

ω = ∆ θ ∆ t

O quanto o conjunto girou ∆ θ sobre o intervalo de tempo ∆ t .

Temos que escrever ∆ θ em radianos. Como uma volta completa respresenta 2 π   r a d , o deslocamento angular ∆ θ será:

∆ θ = 360 2 π   r a d

Enquanto o intervalo de tempo será de um minuto:

∆ t = 60   s

Assim, temos que:

ω = 360 2 π 60

ω = 6 2 π

ω = 37,69   r a d / s

Passo 6

A energia cinética de rotação será:

K C L = I C L ω 2 2

K C L = 6,49 × 10 3 37,69 2 2

K C L = 4,61 × 10 6   J

Resposta

(a)

I C L = 6,49 × 10 3   k g . m 2

(b) K C L = 4,61 × 10 6   J

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