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Exercícios Resolvidos de Energia Cinética de Rotação

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Enunciado

A figura mostra três discos homogêneos e feitos do mesmo material em rotação em torno de seus eixos de simetria. O ordenamento correto das energias rotacionais dos discos é:

Dados: I C M = 1 2 M R 2 (cilindro)

(a) K a < K b < K c

(b) K c < K b = K a

(c) K a = K b < K c

(d) K b < K a < K c

(e) K c < K a < K b

Passo 1

A energia cinética de rotação é dada por:

K = I ω 2 2

Bom, já temos a velocidade angular em cada caso.

E o momento de inércia de um disco é o mesmo que de um cilindro (“vários discos”):

I d i s c o = 1 2 M R 2

Então, basta substituir os valores do raio de cada um deles e calcular I para cada caso, certo?

Não!!!

Temos que ter muito cuidado, pois o enunciado não disse que a massa dos discos são iguais!

Porémmm, sabemos que eles são homogêneos (massa uniformemente distribuída).

Então, suas massas serão proporcionais ao volume do disco.

Ou seja, quanto mais volume o disco tem, mais material ele tem, mais massa ele apresenta. Faz sentido né?

Passo 2

Vamos calcular o volume dos discos.

O volume de um disco é dado pela área da base:

A = π R 2

vezes a altura do disco que chamaremos de h .

V = A h

V = π R 2 h

Disco a :

V a = π r 2 h

Disco b :

V b = π r 2 2 h = π r 2 h 4

Disco c :

V c = π 2 r 2 h = 4 π r 2 h

Passo 3

Podemos escrever a massa dos discos a partir da densidade ρ (a mesma para todos):

ρ = M V

M = ρ V

Então, temos:

M a = ρ π r 2 h = ρ π h r 2

M b = ρ π r 2 h 4 = 1 4   ρ π h r 2

M c = ρ 4 π r 2 h = 4 ρ π h r 2

Passo 4

Agora que sabemos as massas, podemos descobrir os momentos de inércia de cada um deles, usando que:

I d i s c o = M R 2 2

Temos que:

I a = M 1 r 2 2 = ρ π h r 2 r 2 2 = 1 2 ρ π h r 4

I b = M 2 r 2 2 2 = 1 4   ρ π h r 2 r 2 4 2 = 1 32 ρ π h r 4

I c = M 3 2 r 2 2 = 4 ρ π h r 2 4 r 2 2 = 8 ρ π h r 4

Passo 5

Finalmente, podemos calcular a energia cinética de rotação de cada um:

K = I ω 2 2

Disco a :

K a = 1 2 ρ π h r 4 ω 2 2 = 1 4 ρ π h r 4 ω 2

Disco b :

K b = 1 32 ρ π h r 4 2 ω 2 2 = 1 16 ρ π h r 4 ω 2

Disco c :

K c = 8 ρ π h r 4 ω 3 2 2 = 4 9 ρ π h r 4 ω 2

Podemos ver que todas as energias cinéticas têm uma constante multiplicada por um termo em comum.

Como:

1 16 < 1 4 < 4 9

Temos que:

K b < K a < K c

Ficamos com a letra (d).

Resposta

Letra (d)

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