Uma roda cilíndrica homogênea de raio R e massa M , rola sem deslizar sobre um plano horizontal, deslocando-se com velocidade v , e sobe sobre um plano inclinado de inclinação θ , continuando a rolar sem deslizamento. Até que altura h o centro da roda subirá sobre o plano inclinado?

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou te ajudar! Bora lá? Temos um cilindro de raio R que está rolando sobre um plano com velocidade v . Em certo momento esse cilindro encontra um plano inclinado (com inclinação θ em relação à horizontal) e começa a subir. Certo ate aqui?

R acima do plano horizontal, beleza?

E à medida que sobre no plano inclinado, essa energia cinética vai ser convertida em energia potencial gravitacional (aumentando sua altura, perdendo velocidade)

E a altua máxima é atingida quando toda energia cinética for convertida, ou seja, quando o cilindro tiver velocidade nula.

Então a ideia é essa: usar a conservação de energia para determinar a altura máxima

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Por conservação de energia temos:

K i + U i = K f + U f

Como a roda rola sem deslizar e se move em translação também, inicialmente, o bloco tem energia cinética rotacional e translacional:

K i = I ω 2 2 + M v 2 2

Beleza?

E sua energia potencial gravitacional é

U i = M g R

Isso porque, mesmo antes de subir o plano, a altura do seu centro de massa é igual ao raio do cilindro, como falamos no passo 1.

Passo 3

Agora, quando o centro de massa atinge a altura máxima h a energia cinética do cilindro será nula, já que ele para, então

U f = M g h

K f = 0

Certo? Agora vamos juntar tudo isso!

Voltando com esses valores na equação para conservação de energia:

I ω 2 2 + M v 2 2 + M g R = 0 + M g h

Passo 4

Como v = ω R :

I ( v R ) 2 2 + M v 2 2 + M g R = M g h

Como I = 1 2 M R 2 , de acordo com a tabela de momentos de inércia:

M R 2 2 ⋅ v 2 R 2 ⋅ 1 2 + M v 2 2 + M g R = M g h

Assim, isolando o h :

h = R + 3 4 ⋅ v 2 g

e é isso! Essa é a altura máxima que o cilindro atinge!

Beleza?

Espero ter ajudado!

Resposta

h = R + 3 4 ⋅ v 2 g

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