Na Fig. 10-36, duas partículas ambas de massa m = 0,85   k g , estão ligadas uma à outra e a um eixo de rotação em O por duas barras finas, ambas de comprimento d = 5,6   c m e massa M = 1,2   k g . O conjunto gira em torno do eixo de rotação com velocidade angular ω = 0,30   r a d / s . Em relação a O , quais são (a) o momento de inércia do conjunto e (b) a energia cinética do conjunto?

Passo 1

A primeira impressão que temos ao ver esse exercício é que é algo novo, que ainda não vimos, mas vamos olhar agora com mais calma.

Você aprendeu a calcular momento de inércia de um sistema de partículas, certo? Ah, se não aprendeu, não tem problema! Por que eu vou explicar rapidinho aqui!

Ok, temos duas partículas nesse exercício, e você vai fazer o mesmo: somar. Lembrando que o momento de inércia da partícula é dado por:

I p a r t í c u l a   = m d 2

A parada é que agora temos duas barras, corpos extensos, pertencendo ao mesmo sistema da partícula. O que fazer?

É so somar também! E o momento de inércia da barra é dado por:

I b a r r a = M d 2 12

Só que no caso da nossa barra que é presa pela extremidade teremos que usar o teorema dos eixos paralelos.

I = I b a r r a + M d 2

Onde M é a massa da barra e d é a distância do centro de massa do corpo até o eixo de rotação.

Detalhe que só podemos somar esses momentos de inércia pois as partículas e os corpos rígidos formam um sistema que anda junto e rotaciona ao redor de um mesmo eixo, por isso,

para encontrar o momento de inércia do sistema só precisamos somar o momento de inércia de cada corpo em relação ao eixo de rotação.

Passo 2

a) Temos que fazer o momento de inércia do sistema que é a soma dos momentos de inércia:

I s i s t e m a = I p a r t í c u l a   1 + I p a r t í c u l a   2 + I b a r r a   1 + I b a r r a   2

Vamos identificar as partes do sistema e as suas distâncias ao eixo:

Portanto:

I p a r t í c u l a   1 = m d 2

I p a r t í c u l a   2 = m 2 d 2 = 4 m d 2

Para barra 1, temos uma barra presa por uma extremidade, então temos que usar o teorema dos eixos paralelos:

I b a r r a   1 = M d 2 12 + M d 2 2 = M d 2 1 12 + 1 4

I b a r r a   1 = M d 2 3

Já para a barra 2, precisamos fazer uso do teorema dos eixos paralelos de novo e aqui a distância do eixo é 3 d / 2 :

I b a r r a   2 = M d 2 12 + M 3 d 2 2

I b a r r a   2 = 7 M d 2 3

Já que temos todos os momentos de inércia vamos para o cálculo do momento de inércia do sistema.

Passo 3

Como o momento de inércia do sistema é a soma dos momentos de inércia de cada componente temos:

I s i s t e m a = m d 2 + 4 m d 2 + M d 2 3 + 7 M d 2 3

I s i s t e m a = 5 m d 2 + 8 3 M d 2

I s i s t e m a = 5   .   0,85   .   0,056 2 + 8 3   .   1,2   .   0,056 2

I s i s t e m a ≅ 0,023   k g . m 2

Passo 4

Agora com o momento de inércia do sistema, fica moleza para calcular a energia cinética de rotação:

K r o t a ç ã o = I ω 2 2 → K r o t a ç ã o ≅ 0,023   .   0,30 2 2

K r o t a ç ã o ≅ 0,001   J

Resposta

  1. I s i s t e m a ≅ 0,023   k g . m 2
  2. K r o t a ç ã o ≅ 0,001   J

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