Partindo simultaneamente do repouso um disco de raio R D e um anel de raio R A rolam sem deslizar, descendo uma rampa inclinada, a partir de uma mesma altura da base (medida do ponto de contato dos objetos com a rampa). É correto afirmar que:

(a) Se os dois corpos tiverem a mesma massa a sua energia cinética final será a mesma, independente de quais sejam os seus raios.

(b) Se R D = R A o anel sempre chegará primeiro na base da rampa, independente de quais sejam as massas dos dois corpos.

(c) Se as massas dos corpos rígidos forem iguais, o anel sempre chegará primeiro na base da rampa, independente de quais sejam os raios.

(d) Se os dois corpos tiverem a mesma massa e mesmo raio, o centro de massa do anel e do disco chegarão à base da rampa com mesma velocidade.

(e) O disco e o anel sempre chegarão na base da rampa ao mesmo tempo, independente de quais sejam as massas e raios.

Passo 1

Vamos fazer as continhas e descobrir a aceleração para ambos objetos, aplicando a Segunda Lei de Newton para translação e rotação.

Na direção do plano inclinado só atuam a componente da força peso e a força de atrito:

F R = m a

P s e n θ - F a t = m a

m g s e n θ - F a t = m a

Passo 2

Já na rotação, apenas a força de atrito gera torque:

τ R = I α

F a t R = I α

Além disso, num rolamento sem deslizamento, temos:

a = α R

α = a R

Então:

F a t R = I a R

F a t = I R 2 a

Passo 3

Substituindo a F a t da última equação na Segunda Lei para translação, temos:

m g s e n θ - F a t = m a

m g s e n θ - I R 2 a = m a

Isolando a aceleração:

a m + I R 2 = m g s e n θ

a = m g s e n θ m + I R 2

Passo 4

Se considerarmos o momento de inércia do disco como:

I d i s c o = m R 2 2

E o do anel:

I a n e l = m R 2

Temos que as acelerações são:

a d i s c o = m g s e n θ m + m R 2 2 R 2 = g s e n θ 1 + 1 2 = 2 3 g s e n θ

a a n e l = m g s e n θ m + m R 2 R 2 = g s e n θ 1 + 1 = 1 2 g s e n θ

Podemos ver que as acelerações dos dois não dependem nem das massas nem dos raios, uma vez estabelecidas suas geometrias e momentos de inércia.

Como a aceleração do disco é maior, ele chega antes ao solo.

Assim, as afirmativas (b), (c), (d) e (e) estão incorretas.

Passo 5

Resta a afirmativa (a)...

(a) Se os dois corpos tiverem a mesma massa a sua energia cinética final será a mesma, independente de quais sejam os seus raios.

Conservando a energia mecânica e assumindo as mesmas massas e mesmos raios para os dois, temos que a energia potencial gravitacional se converte em cinética de translação e rotação:

U g = K r o t + K t r a

A energia potencial gravitacional U g é a mesma para ambos, certo?

Então, como a energia mecânica se conserva, toda essa energia vai se transformar em energia cinética, por mais que as parcelas de cinética de translação e de rotação não sejam necessariamente as mesmas para os dois casos.

A letra (a) é verdadeira.

Resposta

Letra (a)

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