Um satélite artificial descreve uma órbita circular de raio r 1 em torno da Terra e realiza 8 voltas em um dia.

a ) Para que este satélite seja geoestacionário, ou seja, fique parado em relação a um ponto na superfície da Terra, ele deve circular em outra órbita. Determine o raio r 2 da nova órbita em função de r 1 .

b ) As energias mecânicas do satélite nessas órbitas são iguais? Determine a razão entre a Energia Mecânica na órbita de raio r 1 e a Energia Mecânica na órbita de raio r 2 e justifique sua resposta.

Passo 1

Oiie, tudo certinho contigo?

Temos um satélite em uma órbita circular de raio r 1 , que tem um período tal qual realiza 8 voltas completas em um dia. Precisamos encontrar na primeira alternativa qual deve ser o raio da órbita para que este satélite seja geoestacionário. Mas o que isso quer dizer? Um satélite geoestacionário tem um período de exatamente 24   h (aproximadamente), sendo assim, ele está sempre sobre a mesma posição em relação ao planeta Terra, já que ele se move “juntamente” com ela.

Também precisamos avaliar as energias nestas órbitas, lembremos que as Energias Mecânicas são uma soma das energias Cinéticas e Potenciais em cada órbita! Vamos começar a resolver esse problema!

Passo 2

Temos que o período é o tempo que o satélite leva para completar uma órbita completa, no caso da órbita de raio r 1 , ele completa essa volta 8 vezes por dia, portanto seu período é

T 1 = 24 / 8 = 3   h

Sendo assim, podemos relacionar o período da órbita com a sua circunferência, lembrando que

v = 2 π   r 1 T 1

Usando a lei de gravitação universal de Newton, temos que essa velocidade é dada por

G m   M T r 1 2 = m   v 2 r 1

ou simplesmente

v = G   M T r 1

em que m é a massa do satélite, M T é a massa da Terra, e v 2 / r 1 é a aceleração centrípeta causada pela força central (Força gravitacional). Sendo assim, temos que o raio da órbita se relaciona ao período pela expressão

G M T r 1 = 2 π   r 1 T 1         ( 1 )

Poderíamos simplificar mais um pouco! Mas, vamos deixar assim por enquanto! Vamos lidar agora com a outra órbita!

Passo 3

Para a outra órbita as expressões são exatamente as mesmas, portanto, temos que para um período T 2 = 24   h , podemos escrever

G M T r 2 = 2 π   r 2 T 2         ( 2 )

para sumir com as constantes que estão atrapalhando, vamos dividir a equação ( 2 ) pela equação ( 1 ) , temos que

G M T r 2 G   M T r 1 = 2 π r 2 T 2 2 π r 1 T 1

que simplificando se torna

r 1 r 2 = r 2 T 1 r 1 T 2

ou simplesmente

T 2 T 1 = ( r 2 r 1 ) 3 / 2

de forma que os raios estão relacionados pela expressão

r 2 = r 1 ( T 2 / T 1 ) 2 / 3

usando T 2 = 24 h e T 1 = 3 h , temos

r 2 = r 1 ( 8 ) 2 / 3 = 4   r 1

A primeira alternativa foi isso! Bora resolver a outra agora!

Passo 4

A energia mecânica é dada por

E = K + U

em que K é a energia cinética e U é a energia potencial. A energia potencial gravitacional é dada por

U = - G   m   M T r

e, a velocidade pode ser obtida como

v 2 = G M T r

e, a energia cinética pode então ser escrita como

K = G   m   M T 2 r

Sendo assim, para qualquer órbita, temos que a energia mecânica é dada por

E = - G   m   M T 2 r

Vamos aplicar isso para as nossas órbitas específicas!

Passo 5

Note que a órbita r 2 é quatro vezes maior que a órbita r 1 , portanto, temos que

E 2 = - G m   M T 8 r 1 e E 1 = - G   m   M T 2   r 1

A razão entre as energias mecânicas é então dada por

E 2 E 1 = 2 r 1 8 r 1 = 1 4

ou seja, a energia mecânica do satélite geoestacionário é quatro vezes menor que a do satélite na órbita original

E 2 = E 1 4

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

a )   r 2 = 4 r 1

b )   E 2 = E 1 / 4

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