Ache a solução geral, dada em séries de potências centradas em , da equação diferencial:
Passo 1
Vamos lá, essa questão é grande mas basta fazer com calma. Então, temos:
Assim, podemos escrever a derivada segunda de como:
Mas temos um problema com os índices, certo? Então devemos ajustar esse problema mudando os índices para
Agora vamos arrumar o segundo termo:
E nesse cara podemos fazer a mudança de índices
Passo 2
Jogando isso tudo na equação temos
Se pegarmos os dois primeiros termos do primeiro somatório, os dois somatórios começarão em
Assim, a equação fica
Com isso podemos escrever:
Passo 3
Agora vamos resolver essa recorrência para encontrarmos o termo geral.
- Como , todos os coeficientes que dependem de serão nulos:
E assim por diante. Generalizando, todos os termos são nulos.
- Como , todos os coeficientes que dependem de serão nulos também:
E assim por diante. Generalizando, todos os termos são nulos.
- Assim, vamos calcular os coeficientes da forma e , então podemos escrever:
Assim, temos que: