PUC Rio; Cálculo 4; Prova G2 de 2019.1
Questão 4 (Justifique todas as suas respostas):
Determine a solução geral da EDO
Em volta do ponto .
Passo 1
Bem, é uma EDO com coeficientes não constantes, então vamos aplicar séries para resolver.
Vemos que , que é o ponto em que se quer analisar a resposta, é um ponto ordinário afinal...
A gente viu na teoria que para ponto ordinário podemos chutar a seguinte solução:
Derivando duas vezes:
Substituindo isso na EDO:
Passo 2
Agora vamos com calma, primeiro passe o que está no primeiro somatório para dentro:
Como ...
Separando esse somatório em ...
A primeira coisa a fazer sempre é deixar tudo com o mesmo expoente de , vemos que o segundo somatório está com a cara de , o que devemos fazer é substituir por , mas substituía em tudo hein!
Sacou?! Vamos só ajeitar as contas:
Então vamos voltar para o somatório, substituindo agora esse somatório que obtivemos agora:
Eita que beleza! Mas ferrou, agora tem um cara começando em e o resto começando em !
Nesses casos, você sempre abre os somatórios que começam antes até o valor do somatório que começa com o maior valor. No caso, o somatório que começa com o maior valor é o primeiro, porque ele começa em e o resto em . Então vamos abrir os outros para começarem em também!
Substituindo isso:
Opa! Agora que tudo está com o mesmo expoente e começando no mesmo valor, podemos juntar!
Passo 3
Então ficou com essa cara aqui:
Pelo princípio da identidade, isso só é igual a se:
Da primeira equação temos que:
Da segunda, como não queremos fazer , nós temos que:
E da terceira, temos que:
Ora, sabemos que esse termo envolvendo quadrado , possui duas raízes por báskara ( e ), então podemos falar que...
Logo...
Arrumando mais um pouco:
Agora caímos na famosa relação de recorrência, né? Temos que achar uma forma geral pra ela e a gente só acha testando! Simbora?
Passo 4
Vamos ir substituindo os até chegar em algo que possamos conhecer, ok?
Eita, negócio não é fácil, mas vamos com calma. Percebeu que todo com ficou referido a . E todo com ficou , pois o primeiro já era zero, e como os outros dependiam deste, ficaram também.
Como já encontramos lá atrás e vale , então podemos resumir assim...
Simplificando ainda mais um pouco cancelando os termos que tem que cancelar e juntando os que tiver que juntar...
Assim, com a simplificação, temos para par:
E para todo ímpar, (), basta observar o padrão, como por exemplo, está sempre elevado a , com começando de ...
Ou...
Lá em cima, vimos que
Repara que essa fórmula não está incluindo o já que estamos sempre falando que de ser maior que , mas ela também serve para essa relação do com o . Assim, podemos começar a nossa relação em
Em relação aos termos pares, todos eles são nulos com exceção de :
E o (que não conhecemos) e o que depende de . Só lembrando que eles podem ser , a gente só não pode falar nada!
Passo 5
Com os coeficientes encontrados, podemos agora dar a resposta do nosso problema.
Sabemos lá do passo que a resposta da EDO nada mais é que...
Podemos dividir esse somatório em pares e ímpares da seguinte forma:
Podemos tirar os primeiros valores de todos esses somatórios substituindo :
Além disso, os termos pares são nulos para com exceção do ...
Substituindo cada um desses valores então...