1. Como o problema pediu uma solução na forma

Então temos uma solução centrada em . Para começar a resolver, precisamos saber se este é um ponto ordinário. Temos que o coeficiente que multiplica a segunda derivada é:

No ponto ,

Passo 2

Então esse é mesmo um ponto ordinário e podemos aplicar o método de resolução. Legal, então vamos substituir na equação. Para isso, derivamos:

Passo 3

Lembre-se que o índice do somatório avança com a ordem da derivada! Sabendo disso, vamos substituir na EDO:

Então, temos que distribuir e jogar o para dentro do somatório. Vamos somatório por somatório para não confundir.

Ou seja, nossa equação vai ficar:

Passo 4

Então, precisamos mudar o índice de cada somatório de modo a deixar tudo com o mesmo grau em , no caso, .

Tudo certo seu esperto, agora vamos colocar isso na equação:

Passo 5

Show, em seguida vamos deixar todos os somatórios com o mesmo índice tirando termos do somatório, no caso, o maior, :

Agora substituímos isso tudo:

Podemos juntar os somatórios agora e deixar os termos de mesmo grau em evidência:

Quase lá, para precisamos colocar algum termo junto daquele para encontrarmos todas as relações de recorrência.

Passo 6

Para fazer um termo multiplicado ao quadrado aparecer, vamos tirar do somatório:

Legal, agora colocamos na equação:

Simplificando o somatório:

Passo 7

Então, vamos igualar cada termo a zero para encontrar a relação de recorrência:

Para todo

Próximos:

Passo 8

Encontradas a relação de recorrência, aplicamos as condições iniciais do problema. Primeiramente, temos:

Assim, vamos ter, da última relação:

Da penúltima:

Agora aplicamos a outra condição:

Então vamos ter:

Agora usando a relação:

Assim, vamos ter que:

Então, nossa solução vai ser:

Passo 9

2. Agora precisamos terminar o raio de convergência da solução:

Bem, não temos aqui exatamente uma série como estamos acostumados e sim um polinômio de terceiro grau regular. Portanto, a solução irá convergir para todo . 😊