Resolva a equação diferencial
através de uma série de potências em torno do ponto ordinário . Encontre a relação de recorrência e as duas soluções linearmente independentes indicando o termo geral de cada solução.
Passo 1
Opa, vamos lá. A questão quer que a gente ache a solução da EDO usando a série de potência em torno de . Aí essa série tem essa carinha:
Vamos começar achando as derivadas primeira e segunda para depois podermos substituir na nossa EDO.
Agora, podemos substituir na nossa EDO da seguinte forma:
Jogando o ali para dentro do somatório e usando uma propriedadezinha de potência:
O próximo passo agora é colocar todos os somatórios com os mesmos intervalos, ou seja, começando em e os termos multiplicando .
Passo 2
No primeiro termo, podemos colocar começando em zero, somando onde aparece . Assim oh:
Aí a gente escreve que , e esse termo fica:
Conseguimos fazer o somatório começar do zero e o expoente do ficar igual a . Uhul!
Vamos olhar o segundo termo agora:
Nesse caso, o expoente do já está ajustado, mas então como vamos ajustar o valor inicial do somatório? Vamos pensar qual seria o termo para . Bom, o primeiro termo seria zero.
Então, nesse caso, colocar o somatório começando em zero não vai alterar o nosso somatório.
Passo 3
Vamos colocar esses novos somatórios na nossa expressão que era:
Como os termos dos somatórios são iguais, podemos colocar em um somatório único:
Colocanso o termo em evidência, teremos:
Como não zera, para esse somatório zerar, temos que:
Assim, a gente chega na relação de recorrência:
Como , podemos simplificar e a nossa recorrência fica:
Arrasamos! Mas tem mais aí pela frente haha
Passo 4
Agora a gente precisa achar os coeficientes e escrever a forma geral da solução .
Como não temos um PVI, a gente vai deixar os coeficientes em função de e , porque não temos informações para achar esses valores.
Vamos ver pela relação de recorrência como ficarão os coeficientes.
Para ,
Para ,
Para ,
Isso porque vimos acima que . Continuando:
Para ,
Aí já é porque . Seguindo:
Para ,
Para ,
Sei que parece cansativo, mas é a melhor forma de entendermos o que está acontecendo cara cada valor de .
Passo 5
Bom, a gente vê que há uma lei de formação para par que fica em função de e uma lei de formação para ímpar que fica em função de .
Podemos então separar nos números pares e nos números ímpares , onde é um número inteiro.
Para os números pares, chegaremos em:
Aí temos algo assim
Mas não acaba aí. Repara que os termos alternam de sinal. Para , temos o termo negativo, já para , temos o termo positivo. Com isso, a gente pode escrever nosso termo assim:
Para valores de . Observe que essa condição é colocada porque tudo está em função de , então não podemos ter .
Passo 6
Já para os números ímpares, chegaremos em:
Ficamos assim:
Repare que o denominador é o fatorial só com os termos ímpares. Podemos escrever ele como:
Isso porque esse termo é o fatorial só com termos pares. Se a gente divide por ele, chegamos no fatorial só de números ímpares.
Então:
Percebe que temos termos alternados também, por isso o . Essa expressão também é para , já que tudo está em função de , aí não podemos ter .
Passo 7
Maravilha!! Agora a gente reescreve a nossa solução. Mas repara que a gente vai precisar reescrever nosso somatório. Nossa solução ficou:
E a gente dividiu isso na parte par e na parte ímpar, então fica:
Como as expressões que encontramos só valem para , vamos tirar o do somatório:
Já que
Temos
Aí essa é a nossa solução!
Passo 8
Para achar as duas soluções linearmente independentes, colocamos a nossa solução no formato
Aí a nossa solução fica
Daí a gente tira que
Com o termo geral para , sendo
E
Com o termo geral para , sendo
Ufa! Prontinho!
Resposta
Com o termo geral para , sendo
Com o termo geral para , sendo