Solução de EDO em série – ponto ordinário
Considere a equação diferencial
- Prove que o ponto é um ponto ordinário da equação .
- Achar, na forma de uma série de potências, a solução de que satisfaz e . Calcular o raio de convergência dessa solução.
Passo 1
Letra a)
Como o problema pede, vamos solucionar o problema definindo como uma série centrada em . Antes de tudo, precisamos verificar se o ponto é ordinário. Temos, nesse caso, . Logo, qualquer ponto que escolhermos, inclusive é ordinário. Podemos usar o método aqui então.
Passo 2
Letra )
Vamos, então, definir:
Fazendo essas substituições na EDO , temos:
Passo 3
Precisamos, agora, Igualar as potências de por . Temos:
Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice (nesse caso, ).
Temos, então:
Passo 4
Agora devemos igualar os índices dos somatórios pelo maior (nesse caso ), colocando para fora do somatório os termos correspondentes aos índices anteriores.
Como o somatório deve passar a começar em , colocamos para fora o termo correspondente a . Vamos fazer o mesmo para a 3ª série:
Temos, então:
Passo 5
Vamos, então, juntar os somatórios colocando em evidência e agrupar os termos “soltos”.
Passo 6
Como , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.
Como , temos:
O termo “solto”, fora do somatório também deve ser zero.
Encontramos nossa relação de recorrência.
Passo 7
Vamos agora, calcular alguns ’s.
Dica: nós podemos saber que a relação entre os termos é feita de em por que a relação de recorrência associa termos a , portanto, com “’s de distância”.
Para os índices pares, temos:
Assim, se , podemos escrever:
Temos apenas os números pares de um fatorial , não é? Veja que podemos reescrever assim:
Para os índices ímpares, agora, temos:
Assim,se , podemos escrever:
Veja que temos, no denominador quase um fatorial , apenas os números ímpares. Acabamos de ver que podemos escrever apenas os números pares de um fatorial como . Pense: se multiplicarmos os números pares com os ímpares, teremos um fatorial completo, não é? Vamos fazer isso.
Passo 8
Como nós temos que
Passo 9
Vamos, então, substituir na série de potências essas expressões para o .
Passo 10
Letra b)
Agora, para descobrir o raio de convergência, vamos usar o Teste da Razão:
Como
E