Solução de EDO em série – ponto ordinário
Considere o seguinte problema de valores iniciais:
Deseja-se procurar a solução de em forma de série de potências centrada na origem , isto é,
- Use que o desenvolvimento em série de Taylor da função é dado por
- Determine os valores de com .
Para determinar a relação de recorrência entre os coeficientes da série de potências .
Passo 1
Letra a)
Vamos definir:
Fazendo essas substituições na EDO, temos:
Passo 2
Precisamos, agora, igualar as potências da esquerda por . Temos:
Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice (nesse caso, ).
Temos, então:
Passo 3
Agora devemos igualar os índices dos somatórios (da esquerda) pelo maior (nesse caso ), colocando para fora do somatório os termos correspondentes aos índices anteriores.
Como o somatório deve passar a começar em , colocamos para fora os termos correspondentes a .
Temos, então:
Passo 4
Vamos, então, juntar os somatórios (da esquerda) colocando em evidência :
Passo 5
Como a série em (no lado direito) só possui termos de índice ímpar, para essa igualdade ser verdaderia, temos que:
Agora, para a relação de recorrência nós vamos por partes.
Para
Isso é: para os termos de índice par da série em . Como já vimos, a série em só possui termos de índice ímpar, logo, para a igualdade se verificar, os termos de índice par da série da esquerda devem ser zero.
Como , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.
Como :
Beleza?
Para
Para os termos ímpares a história já é outra. Como a série da direita possui termos ímpares (apenas), para a igualdade ser verdadeira, precisamos igualar a série da direita com a da esquerda. Isso nos dá que
Lembrando que
Show?
Passo 6
Letra b)
Agora vamos calcular os termos que o problema pede:
As condições iniciais nos dão que
Como já vimos
Certo, agora vamos usar as equações de recorrência que encontramos.
Para os termos de índice par:
Para os termos de índice ímpar:
Resposta
- Para ; para .
- .