UFSCAR, Sem Campus, Séries e Equações Diferenciais, Simulados 2021.1 - Simulado 14, Questão 5
A expansão em série de potências em torno do da solução de:
com as condições iniciais e , é:
Determine e .
Passo 1
Faaaala galerinha, tudo tranquilo?
Nessa questão temos a EDO:
Com e .
E, precisamos resolvê-la utilizando o método das séries. Assim, após determinarmos a série que é solução da EDO, podemos abrir os seus primeiros termos para determinar os coeficientes e . Tranquilo?!
Vamo dar uma resumida no passo a passo que vamos fazer pra resolver a EDO usando o método das séries:
Supomos que a solução da EDO é uma série de potências centralizada em , dada por:
Após derivarmos , substituímos na EDO
Juntamos os somatórios
Colocamos a potência de em evidência
Encontramos a relação de recorrência
Generalizamos para qualquer
Calculamos os coeficientes pedidos
Perfeito! Agora que revisamos, vamos lá olhar com calma cada uma dessas etapas.
Passo 2
Bom, primeiramente devemos supor que:
é solução da EDO.
Assim, iremos derivar para substituir lá na EDO.
(obs: quando derivamos a expressão, o termo que era apenas uma constante, foi zerado).
Para substituir na EDO, precisamos derivar mais uma vez. Assim:
Perfeito! (Dá uma olhadinha no índice do somatório mais uma vez 😊).
Assim, vamos substituir na EDO:
Colocando o para dentro do somatório:
Muito bom!
Passo 3
A próxima etapa é juntarmos os somatórios. Para isso, precisamos que os expoentes de estejam conversando sabe?
Temos um e um . Para fazer o primeiro termo se igualar ao segundo, podemos trocar:
Assim:
Precisamos fazer os somatórios começarem do mesmo subíndice. Assim, abrindo:
Temos:
Substituindo de volta na EDO:
A próxima etapa é colocar em evidência, assim temos:
Como o resultado da EDO independe de , os termos dentro do somatório devem ser nulos.
Além disso, para que o lado esquerdo realmente seja igual a zero, . Ou seja:
Perfeito! Com isso encontramos a nossa relação de recorrência!
Passo 4
Agora vamos analisar a relação de recorrência buscando conseguir generalizar o .
Temos:
Logo:
Muito bom gente!
O nosso problema também nos deu alguns dados iniciais:
Mas,
Fazendo , temos:
Também foi falado que:
Mas, vimos no passo , que:
Substituindo , temos:
Portanto, sobre os nossos coeficientes temos:
Pra finalizar a questão falta apenas encontrarmos e . Então:
Logo:
Vamos agora pro cálculo de :
Portanto .
Ou seja, no final encontramos o que o enunciado pediu:
É isso gente! Espero que vocês tenham entendido direitinho.
Obrigado pela atenção 😊