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Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

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Enunciado

Questão 3: Considere a seguinte EDO.

x 2 - 2 x + 2 y ' ' + x - 1 y ' + x 2 - 2 x + 1 y = 0

  1. Mostre que x 0 = 1 é ponto ordinário desta equação.
  2. Determine a relação de relação de recorrência das séries desta equação em torno deste ponto.
  3. Determine os primeiros 3 coeficientes não nulos da solução que satisfaz y 1 = 0 e y ' 1 = 1 .

Passo 1

Letra A)

De acordo com a nossa teoria, um ponto x 0 é singular quando P x 0 = 1 . Então vamos primeiro encontrar quem é esse tal de P x !

A equação geral de uma EDO Linear e homogênea é essa daqui:

P x y ' ' + Q x y ' + R x y = 0

Comparando com a nossa equação

x 2 - 2 x + 2 y ' ' + x - 1 y ' + x 2 - 2 x + 1 y = 0       →             P x = x 2 - 2 x + 2 Q x = x - 1 R x = x 2 - 2 x + 1

Perceba que P x = x 2 - 2 x + 2 = x - 1 2 + 1 . Como x 0 = 1 faz P x 0 = 1 ≠ 0 o que faz desse x 0 um ponto ordinário da equação, saca?!

Passo 2

Letra B)

Antes de qualquer coisa, perceba que:

P x = x 2 - 2 x + 2 Q x = x - 1 R x = x 2 - 2 x + 1                 →                     P x = x - 1 2 + 1 Q x = x - 1 R x = x - 1 2

E que para facilitar a vida, podemos fazer a substituição:

t = x - 1

Então a equação que vamos resolver é esta daqui:

t 2 + 1 y ' ' + t y ' + t 2 y = 0

Passo 3

Bem, de acordo com a nossa teoria, a solução dessas EDO aqui tem essa cara:

y = ∑ m = 0 ∞ a m t m

Então, para jogar na Edo e sabermos quem é esse a m , temos que encontrar as duas derivadas, o que por sorte é tranquilo, basta derivar normalmente:

y ' = ∑ m = 1 ∞ m a m t m - 1

E

y ' ' = ∑ m = 2 ∞ m - 1 m a m t m - 2

Substituindo então...

t 2 + 1 y ' ' + t y ' + t 2 y = 0     →

t 2 + 1 ∑ m = 2 ∞ m - 1 m a m t m - 2 + t ∑ m = 1 ∞ m a m t m - 1 + t 2 ∑ m = 0 ∞ a m t m = 0         →

Simplificando um pouco isso aí (sim! É possível rsrs):

∑ m = 2 ∞ m - 1 m a m t m + ∑ m = 2 ∞ m - 1 m a m t m - 2 + ∑ m = 1 ∞ m a m t m + ∑ m = 0 ∞ a m t m + 2 = 0    

Bem, vamos ter que colocar essas 4 séries dentro de uma só e para isso, primeiro temos que colocar as séries com o mesmo t m e começando do mesmo ponto. Vamos nessa?

Passo 4

Primeiro, colocando as que não estão, com t m . Faremos isso realizando uma mudança de variável, veja só:

∑ m = 2 ∞ m - 1 m a m t m - 2 →

Se fizermos n = m - 2     o u     m = n + 2 :

∑ n = 0 ∞ n + 2 - 1 n + 2 a n + 2 t n =

∑ n = 0 ∞ n + 1 n + 2 a n + 2 t n

Como n é apenas um nome, podemos chamar o n de m novamente:

∑ m = 0 ∞ m + 1 m + 2 a m + 2 t m

Então vamos fazer mesmo para...

∑ m = 0 ∞ a m t m + 2

Ou seja...

n = m + 2       o u         m = n - 2

∑ m = 0 ∞ a m t m + 2 = ∑ n = 2 ∞ a n - 2 t n =

Então, chamando de m novamente...

∑ m = 2 ∞ a m - 2 t m

Passo 5

Então até agora estamos com isso daqui, oh:

∑ m = 2 ∞ m - 1 m a m t m + ∑ m = 2 ∞ m - 1 m a m t m - 2 + ∑ m = 1 ∞ m a m t m + ∑ m = 0 ∞ a m t m + 2 = 0 →

∑ m = 2 ∞ m - 1 m a m t m + ∑ m = 0 ∞ m + 1 m + 2 a m + 2 t m + ∑ m = 1 ∞ m a m t m + ∑ m = 2 ∞ a m - 2 t m = 0

Mas veja que cada série começa de pontos diferentes ainda, então que tal cola-las começando de 2 em diante? Para fazer isso basta “abrir” a séries de m = 0 e m = 1 até chegar em m = 2 :

∑ m = 0 ∞ m + 1 m + 2 a m + 2 t m = 0 + 1 0 + 2 a 0 + 2 t 0 + 1 + 1 1 + 2 a 1 + 2 t 1 + ∑ m = 2 ∞ m + 1 m + 2 a m + 2 t m =

∑ m = 0 ∞ m + 1 m + 2 a m + 2 t m = 2 a 2 + 6 a 3 t + ∑ m = 2 ∞ m + 1 m + 2 a m + 2 t m

Vamos agora fazer com a outra:

∑ m = 1 ∞ m a m t m = a 1 t + ∑ m = 2 ∞ m a m t m

Então vamos ficar com esse resultado:

∑ m = 2 ∞ m - 1 m a m t m + ∑ m = 0 ∞ m + 1 m + 2 a m + 2 t m + ∑ m = 1 ∞ m a m t m + ∑ m = 2 ∞ a m - 2 t m = 0     →

2 a 2 + 6 a 3 t + a 1 t + ∑ m = 2 ∞ m - 1 m a m t m + ∑ m = 2 ∞ m + 1 m + 2 a m + 2 t m + ∑ m = 2 ∞ m a m t m + ∑ m = 2 ∞ a m - 2 t m = 0     →

Finalmente agora podemos colocar tuuuudo isso dentro de um único somatório:

2 a 2 + 6 a 3 + a 1 t + ∑ m = 2 ∞ m - 1 m a m + m + 1 m + 2 a m + 2 + m a m + a m - 2 t m = 0  

Podemos prosseguir para o próximo passo: encontrar a relação de recorrência!

Passo 6

Pow! Veja bem, para aquela igualdade ali ser verdadeira, temos que...

2 a 2 = 0

6 a 3 + a 1 = 0

m - 1 m a m + m + 1 m + 2 a m + 2 + m a m + a m - 2 = 0

Com essa última relação, vamos tirar a relação de recorrência para encontrar todos os termos, para isso, isolemos o a n + 2 que é o termo mais a “frente”:

m + 1 m + 2 a m + 2 + m + m - 1 m a m + a m - 2 = 0   →

Pow, naquele m + m - 1 m ali, podemos fazer: m 1 + m - 1 = m 2 ...

m + 1 m + 2 a m + 2 + m 2 a m + a m - 2 = 0   →

m + 1 m + 2 a m + 2 = - m 2 a m - a m - 2   →

a m + 2 = - m 2 m + 1 m + 2 a m - 1 m + 1 m + 2 a m - 2

E prontinho! Relação encontrada! Apenas atente-se que queremos o m = 2 em diante, heim!

a m + 2 = - m 2 m + 1 m + 2 a m - 1 m + 1 m + 2 a m - 2   ,       p a r a   t o d o       m ≥ 2

Passo 7

Letra C)

Bem, sabemos que a solução da série é essa daqui:

y = ∑ m = 0 ∞ a m t m = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + …

Como y 1 = 0 , mas lembrando de que t = x - 1 = 1 - 1 = 0 ...

y 1 = a 0 + a 1 0 + a 2 0 + … = 0   →

a 0 = 0

E...

y ' = ∑ m = 1 ∞ m a m t m - 1 = 1 ⋅ a 1 t 0 + 2 a 2 t + …

Mas... y ' 1 = 1 , então t = x - 1 = 0 ...

y ' 1 = 1 ⋅ a 1 + 2 a 2 0 + … = 1   →

a 1 = 1

Logo, lembrando-se das relações de recorrência:

2 a 2 = 0

6 a 3 + a 1 = 0

a m + 2 = - m 2 m + 1 m + 2 a m - 1 m + 1 m + 2 a m - 2   ,       p a r a   t o d o       m ≥ 2

Então...

a 2 = 0

a 3 = - 1 6

Só falta mais um não nulo, então vejamos na relação:

a 4 = - 2 2 2 + 1 2 + 2 a 2 - 1 2 + 1 2 + 2 a 0 = 0

E

a 5 = - 3 2 3 + 1 3 + 2 a 3 - 1 3 + 1 3 + 2 a 1   →

a 5 = - 9 20 - 1 6 - 1 20   →

a 5 = 3 40 - 1 20 = 1 40

Prontinho!

Resposta

L e t r a   A )

  P x 0 = 1 ≠ 0

L e t r a   B )

2 a 2 = 0

6 a 3 + a 1 = 0

a m + 2 = - m 2 m + 1 m + 2 a m - 1 m + 1 m + 2 a m - 2   ,       p a r a   t o d o       m ≥ 2

L e t r a   C )

  a 1 = 1 ,   a 3 = - 1 6     e     a 5 = 1 40

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