Solução de EDO em série – ponto ordinário
A seguinte equação, chamada equação de Hermite, tem papel importante na teoria da mecânica quântica
- Encontre a fórmula de recorrência para os coeficientes da solução em série de potências centrada en .
- Mostre que a solução geral está definida para todo .
- Calcule , onde é a solução satisfazendo . (Sugestão: use que .)
Passo 1
Letra a)
Vamos, então, definir:
Fazendo essas substituições na EDO, temos:
Passo 2
Precisamos, agora, igualar as potências de por . Temos:
Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice , no caso, .
Temos, então:
Passo 3
Agora devemos igualar os índices dos somatórios pelo maior (nesse caso ), colocando para fora do somatório os termos correspondentes aos índices anteriores.
Como o somatório deve passar a começar em , colocamos para fora o termo correspondente a .
Passo 4
Vamos, então, juntar os somatórios colocando em evidência e agrupar os termos “soltos”.
Passo 5
Como , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.
Os coeficientes de cada termo “solto”, fora do somatório também devem ser zero.
Portanto, a relação que encontramos para todo , repara que a relação de recorrência funcionad para .
Passo 6
Letra b)
Como os coeficientes da EDO são polinômios (funções com Séries de Taylor com raio de convergência infinito), sabemos que a solução também tem raio de convergência infinito. Assim, a solução geral está definida para todo .
Passo 7
Letra c)
Essas condições iniciais nos dão que
Nós temos que
Isso nos dá
Ou seja, todos os coeficientes de índice impar são zero.
Para os pares, nós temos:
Temos então
Passo 8
Assim, a solução geral é a seguinte:
Agora, lembra disso aqui:
Aplicando à nossa questão
Passo 9
Temos então
Resposta
- Como os coeficientes da EDO são polinômios (funções com Séries de Taylor com raio de convergência infinito), sabemos que a solução também tem raio de convergência infinito. Assim, a solução geral está definida para todo .