UFES, São Mateus, Equações Diferenciais, Listas Professora Raniella - EDO 2022.2, Questão 2b
Utilizando o método de séries de potências, resolva a EDO a seguir
Passo 1
Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de EDO. Dessa vez temos que resolver EDO´S de segunda ordem usando séries de potências. E aí? Lembram como resolvemos esse tipo de problema com esse método?
Vamos fazer uma revisão!!!!
Assumimos que a solução da EDO é da seguinte forma
Calculamos
Que pela linearidade da derivada é:
E o
Que pela linearidade da derivada ��:
Depois disso substituímos na equação original para podermos encontrar os valores dos coeficientes ´s.
Bora Resolver a EDO
Passo 2
Vamos resolver nossa EDO
Assumimos que a solução é da forma
Então, pela nossa revisão,
Substituindo na equação original
vamos fazer no primeiro somatório, então
Dessa forma, podemos juntar os somatórios
mas precisamos que
Vamos analisar a igualdade. Para
precisamos que todos os coeficientes que não acompanham tem que ser zero, pois temos uma igualdade entre polinômios.
Passo 3
Vamos analisar as potências de com calma
Note que os coeficientes de índice par só aparecem nas potências pares, e o de índices ímpares nas potências ímpares. Como comentado no passo anterior, precisamos que todos os coeficientes que não acompanham tem que ser zero, pois temos uma igualdade entre polinômios. Então:
Ou seja,
Agora, vamos verificar os demais coeficientes
Além disso,
Juntando isso, podemos concluir que:
Então a nossa solução é:
com
Prontinho pessoal. Com isso terminamos mais uma questão de EDO, espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima!!!
Resposta
Desenvolvimento acima