Solução de EDO em série – ponto ordínário, Séries de Taylor
- Usar o método de soluções por séries de potências para resolver o seguinte problema de valor inicial:
Determinar o domínio de definição da solução .
- Calcular
Determinar o domínio de definição da solução .
Passo 1
Letra a)
Como o problema pede, vamos solucionar o problema definindo como uma série de potências. Como, para essa questão, temos , qualquer ponto é ordinário, então, podemos escolher uma série centrada em para facilitar nossa vida : )
Passo 2
Vamos, então, definir:
Fazendo essas substituições na EDO , temos:
Passo 3
Precisamos, agora, Igualar as potências de por . Temos:
Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice (nesse caso, ).
Temos, então:
Passo 4
Agora devemos igualar os índices dos somatórios pelo maior (nesse caso ), colocando para fora do somatório os termos correspondentes aos índices anteriores.
Como o somatório deve passar a começar em , colocamos para fora o termo correspondente a . Vamos fazer o mesmo para a 3ª série:
Temos, então:
Passo 5
Vamos, então, juntar os somatórios colocando em evidência e agrupar os termos “soltos”.
Passo 6
Como , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.
Como , temos:
O termo “solto”, fora do somatório também deve ser zero.
Encontramos nossa relação de recorrência.
Passo 7
Vamos agora, calcular alguns ’s.
Temos:
Como , temos:
Agora vamos ver os outros termos, essas são nossas informações iniciais.
Dica: nós podemos saber que a relação entre os termos é feita de em por que a relação de recorrência associa termos a , portanto, com “’s de distância”.
Para os índices pares, temos:
Assim, se , podemos escrever:
Temos um fatorial no denominador (veja que o número do fatorial é o mesmo do índice de ) e temos alternação de sinais. Como o 1º sinal, quando é positivo, podemos dizer que temos , pois . Se você ficar na dúvida quanto ao expoente do , testa alguns termos e vê se dá certo!
Para os índices ímpares, agora, temos:
Assim, se , podemos dizer que , ou seja, todos os ’s de índice ímpar vão ser zero, pois dependem de , que é zero.
Passo 8
Vamos, então, substituir na série de potências essas expressões para o .
Passo 9
Letra b)
Agora precisamos calcular , não é? Para isso, precisamos saber quem é , que função é essa . Nós só temos sua representação por série de potências.
Agora vamos usar um algebrismo. Lembra disso aqui?
Provavelmente na!. É, também acho vacilo pedirem isso nessa questão gigante, mas fazer o que, né? Vamos lá, não tem jeito!
Explicação: usando a fórmula geral de Taylor em torno do ponto zero, temos . Como qualquer derivada de é , temos .
Beleza, superando essa parte WTF, vamos continuar. Substituindo por (por que não!?), temos o seguinte:
Exatamente a resposta do nosso problema, não é? Conclusão:
Essa foi a função que encontramos. Agora podemos calcular o limite:
Finalmente, acabou! : P