Encontre uma solução em série para a equação
Passo 1
Como o problema não especifica, vamos solucionar o problema definindo como uma série centrada em , para simplificar as contas. Antes de tudo, precisamos verificar se o ponto é ordinário. Temos, nesse caso, . Logo, qualquer ponto que escolhermos, inclusive é ordinário. Podemos usar o método aqui então.
Passo 2
Vamos, então, definir:
Fazendo essas substituições na EDO , temos:
Passo 3
Precisamos, agora, Igualar as potências de , nesse caso, por . Temos:
Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice (nesse caso, ).
Passo 4
Como os somatórios já possuem o mesmo índice , não precisamos mexer nisso. Basta, então, juntar os somatórios colocando em evidência.
Passo 5
Como , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.
Encontramos nossa relação de recorrência.
Passo 6
Vamos agora, calcular alguns ’s. Como o problema não nos dá informações iniciais sobre ou , vamos encontrar respostas em função desses valores.
Temos, portanto, sinais alternados para os índices pares e para os ímpares. Para os pares, podemos escrever o seguinte:
Para , temos
Para , temos
Para , temos
Assim por diante. Para os ímpares, então, escrevemos o seguinte:
Para , temos
Para , temos
Assim por diante. Dica: nós podemos saber que a relação entre os termos é feita de em (termos pares e ímpares) por que a relação de recorrência associa termos a , portanto, com “ de distância”.
Passo 7
Vamos, então, substituir na série de potências essas expressões para o .