Solução de EDO em série - ponto ordinário
Considere a equação diferencial
a)Mostre que é um ponto ordinário desta equação.
b)Dado que a fórmula de recorrência da equação em (a) é:
Determine a solução satisfazendo as condições inicias e . Determine o termo geral dessa solução.
c) Determine o raio mínimo de convergência da série de potências da solução em (b)
Passo 1
a)Recolocando a EDO:
Onde:
Quando
Como , concluí-se que é um ponto ordinário. É importante observar que os outros coeficientes são polinômios, logo eles são o que a gente chama de “analíticos” e é pelo fato de serem analíticos que podemos fazer essa análise de , mas na prática só lidaremos com EDOs que tenham coeficientes analíticos.
Passo 2
b)
Começaremos a analisar:
Tem um padrão para os par e ímpar, um fica em função de e o outro de .
Da pra perceber que no , além de ficar em função do ele fica em função de um fatorial de ímpares no numerador que inicia em e um fatorial de pares no denominador, que inicia em . Usando o subscrito para representar os termos pares, temos:
De forma geral:
Para o produto de termos ímpares, podemos fazer, por exemplo:
De forma geral:
Pro nosso caso, temos:
Para o produto de termos pares, podemos fazer, por exemplo:
De forma geral:
Pro nosso caso, temos:
Substituindo, temos:
Para os termos ímpares, temos:
De forma geral, usando o subscrito para representar os termos ímpares, temos:
Já sabemos como fica o produto de termos pares:
E ímpares também:
Substituindo, temos:
A solução vai ser então:
Transformando o somatório em termos ímpares e pares, vamos ter:
Como , vamos ter:
Como , vamos ter:
Portanto a resposta será:
Passo 3
c) Para achar o raio de convergência mínimo, só temos que achar o ponto singular, ou seja, quando
Para isso vemos que:
Agora é só calcular a distância do seu ponto ordinário, que é zero, ao ponto singular mais próximo, tanto para ou para a distância é
Essa distância é o radio de convergência mínimo!