UNICAMP - (Cálculo 3) - P2 2020.1
Considere o seguinte problema de valor inicial:
- Mostre que é um ponto ordinário.
- Obtenha os primeiros termos não nulos da solução em série em torno do ponto .
Passo 1
Falai galera, tudo certinho? Pra começar vamos provar que é um ponto ordinário. Como geralmente a gente conversa sobre pontos ordinários em EDO’s com essa cara:
E temos essa EDO:
Pô, então podemos comparar um com o outro e obter:
Show de bola! E galera, basta pra que seja de fato um ponto ordinário! Como é uma função constante, então tá na mão, provadíssimo, que é um ponto ordinário. Nesse caso, a solução do problema será:
Passo 2
Antes de mais nada, vamos ver a condição de contorno, ok? Ela vai acabar nos ajudando a beça! Veja que, se fizermos na EDO, achamos:
Aproveitando que , chegamos a:
Só que, como é uma série de potência, temos que, se:
Suas derivadas serão:
Portanto temos ai na mão os três primeiros termos da série:
Logo:
Show! A questão pede na verdade os primeiros termos, então falta achar até termos 7 não nulos.
Passo 3
Show galera! Um bom começo é ver que se a solução tem aquela cara de série de potências e a EDO tem derivadas primeira e segunda, vamos precisar derivar o somatório! Vamos obter então:
E colocando todos eles dentro da EDO, temos:
Nos dois primeiros somatórios eu vou por o que ta multiplicando do lado de fora pra dentro, ok? No terceiro vou fazer isso também, mas vou primeiro aplicar a distributiva. Obteremos:
Beleeeeza, agora óia só. Tem somatório demais. Bora reduzir isso ai e colocar tudo num somatório só. Podemos deixar os três últimos com a mesma potência do primeiro, isto é, . Pro primeiro somatório, substituindo , ficamos com:
No quarto somatório, substituindo , temos:
Colocando os somatórios substituídos na EDO, achamos:
Show! Agora pra gente terminar de juntar os somatórios falta só colocarmos todos eles começando no mesmo . Pra isso, abrimos o primeiro somatório para:
Abrindo o segundo somatório:
E abrindo o terceiro, temos:
Juntando tudo, temos:
O que gera o seguinte sisteminha:
Passo 4
Show galera, agora vamos trabalhar com aquele sisteminha. Veja que em:
Resultado é uma solução trivial! Desconsiderando essa, temos:
Pra segunda equação, podemos colocar em evidência o termo de com maior subscrito:
Como o somatório começa em , aqui também vai começar! Sendo assim, vamos ter, pra , os seguintes resultados:
Substituindo , temos:
Agora, para , vamos ficar com um cara grandão de resposta. Seja:
Teremos como
E por fim, pra , já que:
Teremos
Resumin do, temos:
Resposta
Passo 1 prova que é um ponto ordinário e os sete primeiros termos não nulos são: