Solução de EDO em série – ponto ordinário
Resolva a equação diferencial
através de uma série de potências em torno do ponto . Encontre a relação de recorrência e as duas soluções linearmente independentes indicando o termo geral de cada solução.
Passo 1
O primeiro passo é verificar que que é um ponto ordinário. Já que e , então ele é de fato ordinário.
Passo 2
Vamos buscar uma solução em série para esta equação. Assim, admitimos uma função analítica com as seguintes características:
Passo 3
Vamos, agora, introduzir as fórmulas na equação:
Assim, vamos colocar todos os e coeficientes para dentro dos somatórios.
Passo 4
E vamos deixar sempre dentro. Para isso, necessitamos fazer um deslocamento no índice do primeiro somatório.
Logo:
Passo 5
Agora, vamos deixar todos os somatórios a partir do maior valor inicial de (), tirando os termos que sobram do somatório:
Assim, fica:
E podemos juntar os somatórios:
Passo 6
Mas como , teremos
De onde obtemos a relação de recorrência:
Esta fórmula é válida para , onde e são constantes do problema.
Passo 7
Vamos obter, agora, as duas séries que compõem as soluções linearmente independentes, uma começando em e outra em .
Assim, teremos:
Desta forma, quando varia em uma unidade, estamos pulando os termos de dois em dois, percebeu?
Passo 8
Show, vamos achar e agora!
Para (), temos:
Mas dá para escrever assim:
Então temos:
E, portanto,
Passo 9
Para (), devemos ter algo parecido...
Então, sabemos que
Portanto, temos:
Assim:
Resposta
Relação de recorrência: , .
Soluções: ;