Considere a seguinte equação diferencial
Em que é uma constante e cuja solução buscaremos na forma de uma série de potências.
- Encontre a relação de recorrência entre os coeficientes.
- Considere a solução geral na forma Determine de forma que uma das soluções seja um polinômio de grau 5
Passo 1
A ideia aqui é pegar e substituir na equação diferencial! Então, precisaremos calcular suas derivadas de primeira e segunda ordem. Veja só:
E substituindo na equação:
E então desenvolvendo a multiplicação pelos termos:
Passo 2
Agora temos que reescrever as equações para que todas tenham
Colocando cada uma das séries para começar de
Passo 3
Dessa forma a nossa relação de recorrência será.
Vamos calcular alguns valores para ver se encontramos alguma formula mais bonita.
Dessa forma podemos reescrever nossas formulas de recorrência para quando for par e para quando for impar.
Passo 4
b)
Para resolvermos esse item vamos ter que perceber que os nosso coeficientes ficaram independentes, os pares dos impares. Dessa forma podemos escrever a solução da seguinte forma
Agora temos que pensar um que faça uma dessas soluções chegar somente a ser um polinômio de grau 5.
Passo 5
Nós temos um polinômio que só tem potencias pares de e outro q só tem potencias impares, então já sabemos com quem brincar né?
A ideia aqui é que a partir de pra frente tenhamos todos os coeficientes impares iguais a zero. Vamos analisar o
Temos 3 valores que fazem nessa equação, mas somente um que não vai zerar e . Por isso.
Resposta
a)
b)