Solução de EDO em série – ponto ordínário, Séries de potências
Determinar uma solução em série para o problema de valor inicial
E determine o raio de convergência dessa solução.
Passo 1
Como o problema pede, vamos solucionar o problema definindo como uma série de potências. Como, para essa questão, temos , como , o ponto é ordinário e podemos definir a série em torno dele para facilitar nossa vida.
Passo 2
Vamos, então, definir:
Fazendo essas substituições na EDO, temos:
Passo 3
Precisamos, agora, igualar as potências de por . Temos:
Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice (nesse caso, ).
Temos, então:
Passo 4
Agora devemos igualar os índices dos somatórios pelo maior (nesse caso ), colocando para fora do somatório os termos correspondentes aos índices anteriores.
Como o somatório deve passar a começar em , colocamos para fora os termos correspondentes a e . Vamos fazer o mesmo as outras séries:
Temos, então:
Passo 5
Vamos, então, juntar os somatórios colocando em evidência e agrupar os termos “soltos”.
Passo 6
Como , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.
Os coeficientes de cada termo “solto”, fora do somatório também devem ser zero.
Encontramos nossa relação de recorrência.
Passo 7
Vamos agora, calcular alguns ’s. Temos as seguintes informações iniciais e , portanto:
Beleza? Agora vamos ver os outros termos!
Nós podemos saber que a relação entre os termos é feita de em por que a relação de recorrência associa termos a . Olha só
Para os ’s pares (para nós já sabemos que )
Portanto, todos os ’s de índice par, que dependem do valor de , serão iguais a zero.
Para os ’s ímpares (para nós já sabemos que
Pera aí, os ’s ímpares começaram a dar zero também! Isso mesmo, não está errado, no temos e a partir daí todos os ’s de índice ímpar, que dependem de , serão zero também.
Muito bem, o que sobrou aqui? Temos:
Então a série de potências é finita, acaba no , percebeu?
Passo 8
Vamos, então, substituir na série de potências essas expressões para o .
Substituindo as expressões que encontramos para os ’s, termos
Passo 9
Certo, agora vamos ver a convergência. Peraí, como vamos aplicar os testes de convergência para séries, se não encontramos uma série?
Isso é uma série, porém finita, o que quer dizer que ela sempre vai ter uma soma! Sua soma é exatamente , para qualquer .
É como se tivéssemos:
Como nunca teremos nenhum valor a acrescentar a essa soma, já sabemos que a série converge.
Como a série converge para qualquer valor de , ela possui raio de convergência infinito.
Obs: você também poderia dizer que o raio é infinito porque encontramos um polinômio.