1. Considere a equação diferencial . Ache a expressão geral de uma solução em forma de série de potências:

Supondo que .

2. Considere a equação diferencial . Ache a solução em forma de série de potências:

Supondo que .

Vamos, então, definir:

Fazendo essas substituições na EDO , temos:

Precisamos, agora, Igualar as potências de por . Temos:

Lembrando que: quando adicionamos algum valor no termo geral da série, temos que subtrair o mesmo no valor inicial do índice (nesse caso, ).

Temos, então:

Agora devemos igualar os índices dos somatórios pelo maior (nesse caso ), colocando para fora do somatório os termos correspondentes aos índices anteriores.

Como o somatório deve passar a começar em , colocamos para fora o termo correspondente a . Vamos fazer o mesmo para a 3ª série:

Temos, então:

Vamos, então, juntar os somatórios colocando em evidência e agrupar os termos “soltos”.

Como , devemos igualar o termo que multiplica a potência a zero.

Como , temos:

O termo “solto”, fora do somatório também deve ser zero.

Encontramos nossa relação de recorrência.

Vamos agora, calcular alguns ’s.

Dica: nós podemos saber que a relação entre os termos é feita de em por que a relação de recorrência associa termos a , portanto, com “’s de distância”.

Para os índices pares, temos:

Assim, se , podemos escrever:

Temos apenas os números pares de um fatorial , não é? Veja que podemos reescrever assim:

Para os índices ímpares, agora, temos:

Assim,se , podemos escrever:

Mas como o enunciado nos diz que , todos os coeficientes ímpares vão ser 0!

Vamos, então, substituir na série de potências essas expressões para o .

Resolvendo a letra b)

Aproveitando os cálculos feitos no item anterior, temos que:

Por conta de só a primeira e a terceira séries terem termos de grau zero, a soma dessas séries agora tem de ser igual 1. E portanto:

E então:

Como pelo enunciado, , então .

Agora o restante dos termos satisfazema mesma relação encontrada no item anterior:

E então:

Tal que: