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Exercícios Resolvidos de Solução de EDO – Ponto Ordinário

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Enunciado

6. Determine a solução do problema de valor inicial

y ' ' - 2 x y ' + 8 y = 0

Com y 0 = 3   e   y ' 0 = 0

Passo 1

Bem, é uma EDO com coeficientes não constantes, então vamos aplicar séries para resolver, vemos que x = 0 , que é o ponto em que se quer analisar a resposta, é um ponto ordinário. Aí a gente viu na teoria que para ponto ordinário podemos chutar a seguinte solução:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n

Derivando:

y ' x = ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1

y ' ' x = ∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2

Mas calma, já podemos fazer uma análise das condições inicias:

y 0 = ∑ n = 0 ∞ a n 0 n = 3

Lembro que 0 0 = 1 !

Logo:

a 0 . 0 0 = 3 → a 0 = 3

y ' 0 = ∑ n = 1 ∞ n a n 0 n - 1 = 1 . a 1 . 0 1 - 1 = a 1 = 0

Então temos que

a 0 = 3   e   a 1 = 0

Ok, isso vai ser importante pro futuro, mas por agora vamos substituir os somatórios na EDO:

Substituindo isso na EDO:

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 - 2 x ∑ n = 1 ∞ n a n x n - 1 + 8 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Passo 2

Agora vamos com calma, primeiro passe o x que está no segundo somatório para dentro:

∑ n = 2 ∞ n ( n - 1 ) a n x n - 2 - 2 ∑ n = 1 ∞ n a n x n + 8 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

A primeira coisa a fazer sempre é deixar tudo com o mesmo expoente de x n , vemos que o primeiro somatório está com a cara de x n - 2 , o que devemos fazer é substituir n por n + 2 , mas substituía em tudo hein!

∑ n + 2 = 2 ∞ ( n + 2 ) ( n + 2 - 1 ) a n + 2 x n + 2 - 2

Sacou?! Vamos só ajeitar as contas:

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n

Então vamos voltar para o somatório, substituindo agora esse somatório que obtivemos agora:

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n - 2 ∑ n = 1 ∞ n a n x n + 8 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 0

Eita que beleza! Mas ferrou, agora tem um cara começando em 1 e o resto começando em 0 ! Nesses casos, você sempre abre os somatórios que começam antes até o valor do somatório que começa com o maior valor. No caso, o somatório que começa com o maior valor é o do meio, porque ele começa em 1 e o resto em 0 , então vamos abrir os outros para começarem em 1 também!

∑ n = 0 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n = 2 a 2 + ∑ n = 1 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n

8 ∑ n = 0 ∞ a n x n = 8 a 0 + 8 ∑ n = 1 ∞ a n x n

Substituindo isso:

2 a 2 + ∑ n = 1 ∞ ( n + 2 ) ( n + 1 ) a n + 2 x n - 2 ∑ n = 1 ∞ n a n x n + 8 a 0 + 8 ∑ n = 1 ∞ a n x n = 0

Opa! Agora que tudo está com o mesmo expoente e começando no mesmo valor, podemos juntar!

8 a 0 + 2 a 2 + ∑ n = 1 ∞ [ n + 2 n + 1 a n + 2 - 2 n a n + 8 a n ] x n = 0

Passo 3

Então ficou com essa cara aqui:

8 a 0 + 2 a 2 + ∑ n = 1 ∞ [ n + 2 n + 1 a n + 2 - 2 n a n + 8 a n ] x n = 0

Pelo princípio da identidade, isso só é igual a 0 se:

8 a 0 + 2 a 2 = 0 n + 2 n + 1 a n + 2 - 2 n a n + 8 a n = 0

Da primeira equação temos que:

a 2 = - 4 a 0

Da segunda, nós temos que

a n + 2 = 2 n a n - 8 a n n + 2 n + 1

Arrumando mais um pouco:

a n + 2 = n - 4 n + 2 n + 1 2 a n   p a r a   n ≥ 1

Agora caímos na famosa relação de recorrência, né? Temos que achar uma forma geral pra ela, a gente só acha testando! Simbora e não esqueça que vimos lá no começo que a 1 = 0 e a 0 = 3

n = 1 → a 3 = 1.1 - 4 ( 1 + 2 ) ( 1 + 1 ) 2 a 1 = 0 n = 2 → a 4 = 2 - 4 ( 2 + 2 ) ( 2 + 1 ) 2 a 2 = 2 - 4 2 + 2 2 + 1 2 - 4 a 0 n = 3 → a 5 = 3 - 4 ( 3 + 2 ) ( 2 + 3 ) 2 a 3 = 0 n = 4 → a 6 = 4 - 4 4 + 2 4 + 1 2 a 4 = 4 - 4 4 + 2 4 + 1 2 - 4 2 + 2 2 + 1 2 2 - 4 a 0 = 0 n = 5 → a 7 = 5 - 4 5 + 2 5 + 1 2 a 5 = 0 n = 6 → a 8 = 6 - 4 6 + 2 6 + 1 2 a 6 = 0  

Eita, negócio não é fácil, mas vamos com calma. Percebeu que todo a n com n = p a r ficou referido a a 0 = 3 ? E Todo a n com n = í m p a r ficou referido a a 1 = 0 . Simbora ver os pares:

n = 2 → a 4 = 2 - 4 ( 2 + 2 ) ( 2 + 1 ) 2 a 2 = 2 - 4 2 + 2 2 + 1 2 - 4 a 0 n = 4 → a 6 = 4 - 4 4 + 2 4 + 1 2 a 4 = 4 - 4 4 + 2 4 + 1 2 - 4 2 + 2 2 + 1 2 2 ( - 4 a 0 ) n = 6 → a 8 = 6 - 4 6 + 2 6 + 1 2 a 6 = 6 - 4 6 + 2 6 + 1 4 - 4 4 + 2 4 + 1 2 - 4 2 + 2 2 + 1 2 3 ( - 4 a 0 ) )

Ok, tá parecendo difícil? Caalma, olha pro n = 4 , você vai ver que ele dá 0 , logo todos os termos que seguem dele vão dar 0 também! Então vimos que todos os n ímpares dão 0 e todos os n pares de 4 para cima também dão 0 ! Então só sobrou a 0 ,     a 2   e   a 4 ! Os outros coeficientes zeram!

A resposta fica:

y x = ∑ n = 0 ∞ a n x n = a 0 x 0 + a 2 x 2 + a 4 x 4 = a 0 + a 2 x 2 + 2 - 4 2 + 2 2 + 1 2 - 4 a 0 x 4

Mas sabemos que a 0 = 3   e   a 2 = - 4 a 0 = - 12

y x = 3 - 12 x 2 - 2 12 2 . - 12 x 4 = 3 - 12 x 2 + 4 x 4

Resposta

y x = 3 - 12 x 2 + 4 x 4

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