UFMG, Sem Campus, Equações Diferenciais A, P2 - 2015.1, Questão 3.
3 – Encontre a fórmula de recorrência e os primeiros termos da solução em série de potências do PVI:
Passo 1
Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉
Nosso objetivo aqui é usar a solução por séries para obter os 6 primeiros termos do coeficiente e também obter a relação de recorrência.
Tem ideia de como fazer isso? 🤔
Na solução por séries, fazemos com que a solução de uma EDO genérica dada por seja estruturada por
Assim, calculando a primeira e a segunda derivada de e substituindo na EDO, podemos fazer algumas relações que vão nos ajudar.
Porém, perceba que a EDO não é homogênea então, para obter a solução particular, usamos outro método e para esse exercício, vamos considerar que essa equação é homogênea.
Entendeu? Bora começar! 😁
Passo 2
Calculando a primeira derivada de , temos, pelo método de derivação polinomial
Já a segunda derivada, pelo mesmo método é igual a
Substituindo , e na EDO , temos
Passando para dentro do somatório e passando para no primeiro termo...
Perceba que o primeiro e o terceiro termo começa em , mas o segundo termo começa em . Por isso, vamos escrever o primeiro somatório do primeiro e do terceiro termo para deixar todos em .
Sacou? Bora lá! 😊
Passo 3
Reescrevemos o primeiro termo como
E para o terceiro termo, temos
Substituindo na EDO, temos que
Vamos juntar os três somatórios em um só
Para a igualdade ser satisfeita, temos que
Assim, vemos que a relação de recorrência é dada por
Tranquilo até aqui? 😁
Passo 4
Sabemos que e , isso nos diz que e são e respectivamente.
Então, obtendo os primeiros termos, vamos obter
Para em diante, vamos usar a relação de recorrência.
Para
Para
Para
Para
Com isso, vemos que os primeiros temos da nossa EDO é dada por
É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍
